Toán 11 Chương 4 Bài 3: Hàm số liên tục

Định nghĩa. Cho hàm số \(y = f(x)\)  xác định trên khoảng \(K\) và \(x_0∈ K\) . Hàm số \(y = f(x)\) đươc gọi là liên tục tại \(x_0\) nếu \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim} f(x) = f(x_0)\).

• Hàm số \(y = f(x)\) không liên tục tại \(x_0\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
• Hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
• Hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\) nếu nó liên tục trên khoảng \((a; b)\) và \(\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim} f(x) = f(a)\); \(\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim} f(x)= f(b)\).

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó.

Định lí 1

• Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb R\).
• Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Định lí 2

Giả sử \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) là hai hàm số liên tục tại điểm \(x_0\). Khi đó:

Các hàm số \(y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x)\) và \(y = f(x). g(x)\) liên tục tại \(x_)\);

Hàm số \(y = \frac{f(x)}{g(x)}\) liên tục tại \(x_0\) nếu \(g(x_0) ≠ 0\).

Định lí 3

Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\) và \(f(a).f(b) <0\), thì tồn tại ít nhất một điểm \(c ∈ (a; b)\) sao cho \(f(c) = 0\).

Định lí 3 thường được áp dụng để chứng minh sự tồ tại nghiệm của phương trình trên một khoảng và nó còn được phát triển dưới dạng khác như sau:

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\) và \(f(a).f(b) < 0\). Khi đó phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \((a; b)\).

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = x^3+ 2x - 1\) tại \(x_0= 3\).

Hướng dẫn giải

Hàm số \(f(x) = x^3+ 2x - 1\) xác định trên \(\mathbb R\) và \(x_0= 3 ∈ \mathbb R\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = {3^3} + 2.3 - 1 = 32\\f\left( 3 \right) = {3^3} + 2.3 - 1 = 32\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\).

Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x_0= 3\).

Xét tính liên tục của hàm số \(y = g(x)\) tại \(x_0= 2\), biết 

\(g(x) = \left\{\begin{matrix} \dfrac{x^{3}-8}{x- 2}; &x\neq 2 \\ 5;& x=2 \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 8}}{{x - 2}}\\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x-2)(x^2+2x+4)}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\\
= {2^2} + 2.2. + 4 = 12\\
g\left( 2 \right) = 5\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) \ne g\left( 2 \right)
\end{array}\)

Vì \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} g(x) ≠ g(2)\) nên hàm số \(y = g(x)\) gián đoạn tại \(x_0= 2\).

Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra.

a) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1{\rm{   khi  }}x \ne 1\\{\rm{2         khi  }}x = 1\end{array} \right.\) tại điểm \({x_0} = 1\)                   

b) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {{x^2} - x - 2} \right|}}{{x + 1}}{\rm{  khi }}x \ne  - 1\\1{\rm{               khi  }}x =  - 1{\rm{ }}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(f(1) = 2\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 1) = 2 = f(1)\)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 1\).

b) Ta có \(f( - 1) = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{\left| {(x + 1)(x - 2)} \right|}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} (2 - x) = 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{\left| {(x + 1)(x - 2)} \right|}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} (x - 2) =  - 3 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x)\)

Suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to  - 1\).

Vậy hàm số gián đoạn tại \(x =  - 1\).

Câu 1: Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c)

Câu 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x0

Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} = L\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm x0

Hướng dẫn: Đặt \(g\left( x \right) = {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} - L\) và biểu diễn \(f\left( x \right)\) qua \(g\left( x \right)\)

Câu 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5}\) tại \(x = 4 \)

b) \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x < 1 \hfill \cr 
- 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\) tại \(x = 1\)

Câu 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr 
2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

b) \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr 
3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Câu 1: Cho hàm số \(\begin{cases}\frac{x^{2}}{x} & \text{ với } x<1,x\neq 0 \\ 0 & \text{ với } x=0 \\ \sqrt{x} & \text{ với } x\geq 1 \end{cases}\). hàm số \(f(x)\) liên tục tại:

A. Mọi điểm thuộc \(\mathbb{R}\)

B. Mọi điểm trừ \(x=0\)

C. Mọi điểm trừ \(x=1\)

D. Mọi điểm trừ \(x=0\) và \(x=1\)

Câu 2: Cho hàm số \(f(x)=x^{3}-3x-1\). Số nghiệm của phương trình \(f(x)=0\) trên \(\mathbb{R}\) là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 3: Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([-1;4]\) sao cho \(f(-1)=2,f(4)=7\). Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình \(f(x)=5\) trên đoạn \([-1;4]\):

A. Vô nghiệm 

B. Có ít nhất một nghiệm 

C. Có đúng một nghiệm 

D. Có đúng hai nghiệm 

Câu 4: Cho \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}\) với \(x\neq 0\)

Phải bổ sung thêm giá trị $f(0)$ bằng bao nhiêu thì hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)?

A. 0

B. 1

C. \(\sqrt{2}\)

D. 2

Câu 5: Cho hàm số \(f(x)=\begin{cases}\sqrt{6-2x}+1 & \text{ với } x\leq 3 \\ ax & \text{ với } x> 3 \end{cases}\)

Với giá trị nào của \(a\) thì hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=3\)?

A. \(a=3\)

B. \(a=\frac{1}{3}\)

C. \(a=\frac{-1}{3}\)

D. \(a=-2\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Biết được định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng
• Biết ứng dụng các định lí nói trên xét tính liên tục của một hàm số đơn giản.
• Biết chứng minh một phương trình có nghiệm dựa vào định lí giá trị trung gian