Toán 11 Ôn tập chương 4: Giới hạn

a) Các giới hạn đặc biệt

b) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

\(S = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}} + ... = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)

c) Định lý kẹp

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\)

a) Giới hạn đặc biệt

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c\) (\(c\) là hằng số)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty ,\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) nếu \(k\) chẵn và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  - \infty \) nếu \(k\) lẻ.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{1}{x} =- \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{x} =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{1}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\left| x \right|}} =  + \infty \)

Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số cũng tương tự với giới hạn dãy số.

b) Giới hạn một bên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\)

a) Hàm số liên tục

- Tại một điểm \({x_0}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

- Trong một khoảng: liên tục tại mọi điểm trong khoảng.

- Trong một đoạn \(\left[ {a;b} \right]\): liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).

b) Tính chất có nghiệm của phương trình

- Nếu \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\) hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm.

- Nếu \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\), đặt \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\). Khi đó với mọi \(T \in \left( {m;M} \right)\) luôn tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = T\).

Cho hai dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\). Biết \(|u_n– 2| ≤ v_n\) với mọi \(n\) và \(\lim v_n=0\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \((u_n)\)?

Hướng dẫn giải

Vì \(\lim v_n=0\) nên \(|{v_n}| \) nhỏ hơn một số dương \(\varepsilon\) bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nghĩa là \(|{v_n}| < \varepsilon \) kể từ một số hạng nào đó trở đi.

⇒ \(|{u_n}-2| \le {v_n} \le |{v_n}| < \varepsilon \) hay \(|{u_n}-2| < \varepsilon \) bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

⇒ \(\lim ({u_n}-2) = 0\) (theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0)

⇒ \(\lim {u_n} = 2\).

Tính các giới hạn sau

a) \(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 3} \over {{x^2} + x + 4}}\)

b) \(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} {{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 3x}}\)

c) \(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 3} \over {{x^2} + x + 4}} = {{2 + 3} \over {{2^2} + 2 + 4}} = {1 \over 2}\)

b)

\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 3x}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{(x + 2)(x + 3)} \over {x(x + 3)}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{x + 2} \over x} \cr & = {{ - 3 + 2} \over { - 3}} = {1 \over 3} \cr} \)

c) \(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} (2x - 5) =2.4-5= 3 > 0\)

và \(\left\{ \matrix{x - 4 < 0,\forall x < 4 \hfill \cr \mathop {\lim }\limits_{x \to  4^-} (x - 4) = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\displaystyle\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}} =  - \infty \)

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g(x)\)

Hướng dẫn giải

+)  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {x^2}} \over {{x^2}}} =  + \infty \)

Vì: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 - {x^2}) = 1 > 0,\)

     \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0;{x^2} > 0,\forall x \ne 0\)

+)  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^3} + {x^2} + 1} \over {{x^2}}} =  + \infty \)

Vì: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({x^3} + {x^2} + 1) = 1 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0,{x^2} > 0,\) \(\forall x \ne 0\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {x^2}} \over {{x^2}}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2}({1 \over {{x^2}}} - 1)} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({1 \over {{x^2}}} - 1) = - 1 \cr} \) 

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} + {x^2} + 1} \over {{x^2}}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3}(1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^3}}})} \over {{x^3}({1 \over x})}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^3}}}} \over {{1 \over x}}} = + \infty \cr} \)

Câu 1: Tính các giới hạn sau

a) \(\lim {{{{\left( { - 3} \right)}^n} + {{2.5}^n}} \over {1 - {5^n}}}\)

b) \(\displaystyle \lim {{1 + 2 + 3 + ... + n} \over {{n^2} + n + 1}}\)

c) \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 1}  - \sqrt {{n^2} + n - 1} } \right)\)

Câu 2: Tìm giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với

a) \({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}\)

b) \({u_n} = {{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}\)

Câu 3: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn \(2,131131131…\) (chu kì \(131\)) dưới dạng phân số.

Câu 4: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}}\,\,{\rm{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

a) Chứng minh rằng \({u_n} > 0\) với mọi n.

b) Biết \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Câu 1: \(\underset{x \to -2}{lim}\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}-x+1}\) bằng:

A. \(+\infty\)

B. \(\frac{12}{9}\)

C. \(\frac{-4}{3}\)

D. \(\frac{-4}{7}\)

Câu 2: \(\underset{x \to -1}{lim}\left | 4x^{3}-3x-4 \right |\) bằng: 

A. 3

B. 5

C. 11

D. -5

Câu 3: \(\underset{x \to 1^{-}}{lim}\frac{2x+1}{x-1}\) bằng:  

A. \(\frac{-1}{2}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(+\infty\)

D. \(-\infty\)

Câu 4: Cho hàm số \(\begin{cases}x^{2}-3x+1 & \text{ với } x<2 \\ 2x+3 & \text{ với } x\geq 2 \end{cases}\)

Khi đó: \(\underset{x \to 2^{-}}{lim}f(x)\) bằng

A. -2

B. 7

C. -1

D. 11

Câu 5: \(\underset{x \to 1}{lim}\frac{2x^{2}-3x+1}{2-2x^{2}}\) bằng:

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{1}{4}\)

C. \(\frac{-1}{4}\)

D. \(\frac{-1}{2}\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Các định lí và các dạng toán giới hạn dãy số và giới hạn hàm số
• Định nghĩa và các định lí của tính liên tục hàm số, các dạng toán của hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và một đoạn.
• Phương pháp chứng minh phương trình tồn tại nghiệm trên một khoảng, trên R