Toán 11 Chương 3 Bài 2: Dãy số

Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số \(u:\mathbb{N}* \to \mathbb{R},{\rm{ }}n \to u(n)\)

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên \(n\):

\(u(1),u(2),u(3),...,u(n),...\)

• Ta kí hiệu \(u(n)\) bởi \({u_n}\) và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, \({u_1}\) được gọi là số hạng đầu của dãy số.
• Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},...,{u_n},...\) hoặc dạng rút gọn \(({u_n})\).

Người ta thường cho dãy số theo các cách:

Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó

Cho bằng công thức truy hồi, tức là:

• Cho một vài số hạng đầu của dãy
• Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

• Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)
• Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

• Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực \(M\) sao cho \({u_n} < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).
• Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực \(m\) sao cho \({u_n} > m{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).
• Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương  \(M\) sao cho \(\left| {{u_n}} \right| < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

Cho hàm số \(\displaystyle f(n) ={1 \over {2n - 1}}\), n ∈ N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& f(1) = {1 \over {2.1 - 1}} = {1 \over {2 - 1}} = {1 \over 1} = 1 \cr
& f(2) = {1 \over {2.2 - 1}} = {1 \over {4 - 1}} = {1 \over 3} \cr
& f(3) = {1 \over {2.3 - 1}} = {1 \over {6 - 1}} = {1 \over 5} \cr
& f(4) = {1 \over {4.2 - 1}} = {1 \over {8 - 1}} = {1 \over 7} \cr
& f(5) = {1 \over {5.2 - 1}} = {1 \over {10 - 1}} = {1 \over 9} \cr} \)

Cho các dãy số (un) và (vn) với u_n = 1 + \({1 \over n}\); v_n = 5n – 1.

a) Tính u_n+1, v_n+1.

b) Chứng minh u_n+1 < u_n và v_n+1 > v_n, với mọi n ∈ N*.

Hướng dẫn giải

a) u_n = 1 + \({1 \over {n+1}}\); v_n+1= 5(n + 1) - 1 = 5n + 4

b) Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = (1 + {1 \over {n + 1}}) - (1 + {1 \over n}) \) \(= {1 \over {n + 1}} - {1 \over n}  = \frac{{n - \left( {n + 1} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}}= {{ - 1} \over {n(n + 1)}}<0\)

⇒ u_n+1 - u_n < 0 ⇒ u_n+1 < u_n , ∀n ∈ N*

\({v_{n + 1}} - {v_n} \) \(= (5n + 4) - (5n - 1) = 5 > 0\)

⇒ v_n+1 - v_n > 0 ⇒ v_n+1 > v_n ,∀n ∈ N*

Chứng minh các bất đẳng thức \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\,{{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1\) với mọi n∈N*.

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& {{{n^2}} \over {{n^2} + 1}} - {1 \over 2} = {{2n - ({n^2} + 1)} \over {2({n^2} + 1)}} \cr & = \frac{{ - {n^2} + 2n - 1}}{{2\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \frac{{ - \left( {{n^2} - 2n + 1} \right)}}{{2\left( {{n^2} + 1} \right)}}\cr &= {{ - {{(n - 1)}^2}} \over {2({n^2} + 1)}} \le 0;\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& \text{Vì } 2\left( {{n^2} + 1} \right) > 0\text { và } - {\left( {n - 1} \right)^2} \le 0,\forall n\in N^*\cr &\Rightarrow {n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& {{{n^2} + 1} \over {2n}} - 1 = {{{n^2} + 1 - 2n} \over {2n}} \cr &= {{{{(n - 1)}^2}} \over {2n}} \ge 0;\,\,\forall n \in N* \cr
& \text{Vì } 2n > 0\text { và } {\left( {n - 1} \right)^2} \ge 0,\forall n\in N^*\cr & \Rightarrow {{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1;\,\,\forall n \in {N^*} \cr} \)

Câu 1: Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết

a) \({u_n} = {10^{1 - 2n}}\) 

b) \({u_n} = {3^n} - 7\)

c) \({u_n} = \dfrac{{2n + 1}}{{{n^2}}}\)

Câu 2: Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?

a) \({u_n} = 2n - {n^2}\)

b) \({u_n} = n + \dfrac{1}{n}\)

Câu 3: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2{\rm{ voi }} n\ge {\rm{1}}{\rm{.}}\end{array} \right.\)

a) Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\) 

b) Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng

Câu 4: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^2} - 4n + 3.\)

a) Viết công  thức truy hồi của dãy số

b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới

Câu 1: Cho dãy số \((u_{n})\), biết \(u_{n}=cosn+sinn\)

Dãy số \((u_{n})\) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

A. 0

B. 1

C. \(\sqrt{2}\)

D. Không bị chặn trên.

Câu 2: Cho dãy số \((u_{n})\), biết \(u_{n}=sinn-cosn\)

Dãy số \((u_{n})\) bị chặn dưới bởi số nào dưới đây?

A. 0

B. -1

C. \(-\sqrt{2}\)

D. Không bị chặn dưới.

Câu 3: Cho dãy số \(u_{n}\), với \(u_{n}=(-1)^{n}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số \(u_{n}\) là dãy số tăng

B. Dãy số \(u_{n}\) là dãy số giảm

C. Dãy số \(u_{n}\) là dãy số bị chặn 

D. Dãy số \(u_{n}\) là dãy số không bị chặn.

Câu 4: Cho dãy số \(u_{n}\), biết \(u_{n}=\frac{-n}{n+1}\). Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:

A. \(-\frac{1}{2};-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6}\)

B. \(-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6};-\frac{6}{7}\)

C. \(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6}\)

D. \(\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6};\frac{6}{7}\)

Câu 5: Cho dãy số \(u_{n}\), biết \(u_{n}=\frac{n}{3^{n}-1}\). Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:

A. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}\)

B. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{26}\)

C. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{16}\)

D. \(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được định nghĩa dãy số, biết cách cho dãy số, chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm
• Biết cách chứng minh dãy số bị chặn.