Toán 11 Chương 1 Bài 3: Phép đối xứng trục

- Cho đường thẳng d. Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó. Biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’, được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d (hay là phép đối xứng trục) . Đường thẳng d gọi là trục đối xứng.

- Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd.

Nhận xét:

• Đd(M)=M' ⇒ Đd(M')=M.

• \(M \in d\) ⇒ Đd(M)=M.

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho đường thẳng d trùng với trục Ox

Với mỗi điểm M(x;y), gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục d hay M’=Đd(M)=(x’;y’) thì: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x' =  x\\
y' = - y
\end{array} \right.\)

b) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho đường thẳng d trùng với trục Oy

Với mỗi điểm M(x;y), gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục d hay M’=Đd(M)=(x’;y’) thì: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x' =  - x\\
y' = y
\end{array} \right.\)

a) Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

b) Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

Định nghĩa: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình H thành chính nó, tức là Đd(H)=H.

Câu 1: Cho điểm M(1;3). Tìm tọa đô M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy, rồi tìm tọa độ của M’’ là ảnh của M’ qua phép đối xứng trục Ox.

Hướng dẫn giải

Đ_Oy(M)=M’\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - x =  - 1\\y' = y = 3\end{array} \right. \Rightarrow M'( - 1;3).\)

Đ_Ox(M’)=M’’\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = x' =  - 1\\y'' =  - y' =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow M'( - 1; - 3).\)

Câu 2: Cho đường tròn (C): \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4.\) Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh ủa đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox.

Hướng dẫn giải

Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C), I’ và R’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C’).

Khi đó ta có: \(R' = R = 2\) và I’=ĐOx(I).

I’=Đ_Ox(I)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = {x_I} = 1\\{y_{I'}} =  - {y_I} =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 4.\)

Câu 3: Cho \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3}.\) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.

Hướng dẫn giải

Gọi \(M(x,y) \in d,\) khi đó ĐOy(M)=M’\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - x'\\y = y'\end{array} \right. \Rightarrow M( - x';y').\)

\(M \in d \Rightarrow \frac{{ - x' - 1}}{2} = \frac{{y' + 2}}{3} \Leftrightarrow 3x' + 2y' + 7 = 0\)

Vậy phương trình của d’ là: \(3x + 2y + 7 = 0.\)

Câu 1: Cho điểm M(-2;4). Tìm tọa đô M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy, rồi tìm tọa độ của M’’ là ảnh của M’ qua phép đối xứng trục Ox.

Câu 2: Cho đường tròn (C): \({(x - 1)^2} + {(y - 3)^2} = 25.\) Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh ủa đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox.

Câu 3: Cho \(d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{3}.\) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.

Câu 1: Cho hình vuông ABCD tâm I. gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh DA, AB, BC, CD. Phép đối xứng trục AC biến:

A. ∆IED thành ∆IGC   

B. ∆IFB thành ∆IGB

C. ∆IBG thành ∆IDH

D. ∆IGC thành ∆IFA

Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-1;3). Phép đối xứng trục Ox biến M thành M’ thì tọa độ M’ là:

A. M’(-1;3) 

B. M’(1;3)

C. M’(-1;-3)  

D. M’(1;-3)

Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình : x - 2y + 4 = 0. Phép đối xứng trục Ox biến d thành d’ có phương trình:

A.  x - 2y + 4 = 0

B. x + 2y + 4 = 0

C.  2x + y + 2 = 0

D. 2x - y + 4 = 0

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương tình 3x-y+2=0. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.

A. \(3x - y + 2 = 0.\)    

B. \(3x + y + 2 = 0.\)

C. \(3x - y - 2 = 0.\)

D. \(3x + y - 2 = 0.\)

Câu 5: Viết phương trình ảnh của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 5y + 1 = 0\) qua phép đối xứng trục Oy.

A. \({x^2} + {y^2} + 4x + 5y + 1 = 0.\)

B. \({x^2} + {y^2} - 4x + 5y + 1 = 0.\)

C. \({x^2} + {y^2} - 4x - 5y + 1 = 0.\)

D. \({x^2} + {y^2} + 4x - 5y + 1 = 0.\)

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ và các dạng toán liên quan đến Phép đối xứng trục
• Nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.