Toán 11 Chương 3 Bài 3: Cấp số cộng

Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + d}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)  gọi là cấp số cộng; \(d\) gọi là công sai.

• Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).
• Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi \({u_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_k} + {u_{k + 2}}} \right)\).
• Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức : \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\).

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

a) \(\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} - {u_3} + {u_5} = 10\\
{u_1} + {u_6} = 17
\end{array} \right.\)

b) \(\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_7} - {u_3} = 8\\
{u_2}.{u_7} = 75
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có : u₃ = u₁ + 2d ;

u₅ = u₁ + 4d ;

u₆ = u₁ + 5d

Theo đề bài ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} - {u_3} + {u_5} = 10\\
{u_1} + {u_6} = 17
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + {u_1} + 4d = 10\\
{u_1} + {u_1} + 5d = 17
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 2d = 10\\
2{u_1} + 5d = 17
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 16\\
d = - 3
\end{array} \right.\\\end{array}\)

b) Ta có: u₇ = u₁ + 6d ; u₃ = u₁ + 2d ; u₂ = u₁ + d

Do đó theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_7} - {u_3} = 8\\
{u_2}.{u_7} = 75
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 6d - {u_1} - 2d = 8\\
\left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4d = 8\\
\left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d = 2\\
\left( {{u_1} + 2} \right)\left( {{u_1} + 12} \right) = 75
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\u_1^2 + 14{u_1} + 24 = 75\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\u_1^2 + 14{u_1} - 51 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_1} = - 17\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
d = 2\\
{u_1} = 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
d = 2\\
{u_1} = - 17
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

2.2. Bài tập 2

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 - 7n.\)

a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số

b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số

c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.

Hướng dẫn giải

a) Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\)\( = 1 - 7\left( {n + 1} \right) - \left( {1 - 7n} \right)\) \(=1-7n-7-1+7n =  - 7 < 0\)

Do đó \(u_{n+1} < u_n,\forall n\in N^*\)

Vậy dãy số giảm.

b) Do \({u_{n + 1}} - {u_n} =  - 7 \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + \left( { - 7} \right)\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với:

\({u_1} =1-7.1=  - 6;d =  - 7.\)

Công thức truy hồi là \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 6\\{u_{n + 1}} = {u_n} - 7\text{ với }n \ge 1\end{array} \right.\).

c) \({S_{100}} = \dfrac{{{u_1}\left( {2{u_1} + 99d} \right)}}{2}\) \( = \dfrac{{ - 6\left[ {2.\left( { - 6} \right) + 99.\left( { - 7} \right)} \right]}}{2} =  - 35250\)

Câu 1: Tìm cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a\\u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2}\end{array} \right.\).

Câu 2: Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ?

a) \({u_n} = 3n - 1\)

b) \({u_n} = {2^n} + 1\)

c) \({u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} - {n^2}\)

Câu 3: Tính số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right),\) biết :

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_7} = 19\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} - {u_3} = 10\\{u_1} + {u_6} = 7\end{array} \right.\)

Câu 4: Tính số các số hạng của cấp số cộng \(\left( {{a_n}} \right),\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_2} + {a_4} + ... + {a_{2n}} = 126\\{a_2} + {a_{2n}} = 42\end{array} \right.\).

Câu 1: Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.

A. 88

B. 92

C. 128

D. 132

Câu 2: Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây. hàng thứ hai có hai cây, hàng thứ ba có ba cây,.... Vậy có tất cả bao nhiêu hàng?

A. 75

B. 76

C. 77

D. 78

Câu 3: Biết các số \(C_{n}^{1};C_{n}^{2};C_{n}^{3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với \(n>3\). Tìm n

A. n=5

B. n=7

C. n=9

D. n=11

Câu 4: Nếu các số 5+m;7+2m; 17+m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?

A. m=2

B. m=3

C. m=4

D. m=5

Câu 5: Với giá trị nào của x và y thì các số \(-7;x;11;y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng?

A. x=1; y=21

B. x=2; y=20

C. x=3; y=-19

D. x=4; y=18

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được khái niệm cấp số cộng
• Nắm được một số tính chất cơ bản của ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng
• Nắm được công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên