Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 7: Phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình \({(x-3)}^2+{(y+1)}^2=9\). Hãy viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số \(k=-2\)

Phương pháp giải:

Cho I và \(k \ne 0\). Phép vị tự tâm I, tỉ số k biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\vec{IM’}=k\vec{IM} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có A(3;-1) là tâm của (C) nên tâm A’ của (C’) là ảnh của A qua phép vị tự đã cho.

Từ đó suy ra \(\vec{IA’}=-2\vec{IA}\) nên \(A(-3;8)\)

Vì bán kính của (C) bằng 3, nên bán kính của (C’) bằng \(\left| { - 2} \right|.3 = 6\)

Vậy (C’) có phương trình: \({(x+3)}^2+{(y-8)}^2=36.\)

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn đó.

Phương pháp giải:

Để xác định của một điểm M ta xem nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép vị tự. 

Hướng dẫn giải:

Gọi O là trung điểm của AB. 

Giả sử dựng được hình vuông MNPQ có M, N thuộc đường kính AB, P, Q thuộc nửa đường tròn. 

Khi đó O phải là trung điểm của MN. 

Nếu lấy một hình vuông M’N’P’Q’ sao cho M’, N’ thuộc AB, O là trung điểm của M’N’ khi đó ta thấy

\(\dfrac{OM}{OM’}=\dfrac{ON}{ON’}=\dfrac{OP}{OP’}=\dfrac{OQ}{OQ’} \)

Từ đó suy ra hình vuông MNPQ là ảnh của hình vuông M’N’P’Q’ qua phép vị tự tâm O, suy ra O, P, P’ và O, Q, Q’ thẳng hàng.

Vậy ta có cách dựng:

- Dựng hình vuông M’N’P’Q’ nằm trong nửa hình tròn đã cho sao cho M’N’ thuộc AB và O là trung điểm của M’N’. Tia OP’ cắt nửa đường tròn tại P ; tia OQ’ cắt nửa đường tròn tại Q.

Khi đó dễ thấy tứ giác MNPQ là hình vuông cần dựng.

Cho góc nhọn xOy và điểm C nằm trong góc đó. Tìm trên Oy điểm A sao cho khoảng cách từ A đến Ox bằng AC.

Phương pháp giải:

Để xác định một điểm M ta xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép vị tự.

Hướng dẫn giải:

Giả sử điểm A đã dựng được.

Gọi B là hình chiếu vuông góc của A trên Ox, khi đó AB = AC.

Lấy điểm A’ bất kì trên Oy, gọi B’ là hình chiếu vuông góc của A’ trên Ox, đường thẳng qua A' song song với AC cắt đường thẳng OC tại C’.

Khi đó có thể coi tam giác ABC là ảnh của tam giác A’B’C’ qua phép vị tự tâm O tỉ số \(\dfrac{AC}{A’C’}\) nên A’C’ = A’B’.

Từ đó suy ra cách dựng:

- Lấy điểm A’ bất kì trên Oy, dựng B’ là hình chiếu vuông góc của A’ lên Ox

- Lấy C’ là một giao điểm của đường tròn tâm A’ bán kính A’B’ với đường thẳng OC.

- Đường thẳng qua C song song với A’C’ cắt Oy tại A.