Toán 7 Chương 1 Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

• Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng \(\frac{a}{b}\) với a, b ∈  \( \mathbb{Z}\), b # 0. 
• Tập hợp các số hữu tỷ được kí hiệu là \(\mathbb{Q}\).

Ví dụ: Xét các số 2; 0 và 0.5, ta thấy:

\(2 = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = ...\)

\(0 = \frac{0}{1} = \frac{0}{2} = \frac{0}{3} = ...\)

\( - 0,5 =  - \frac{1}{2} =  - \frac{2}{4} =  - \frac{3}{6} = ...\)

Vậy các số 2, 0, -0.5 là các số hữu tỉ.

Nhận xét:  \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\).

Để biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) (a, b ∈  \( \mathbb{Z}\), b > 0) trên trục số ta làm như sau:

• Chia đoạn đơn vi [0;1] trên trục số thành b phần bằng nhau, lấy 1 đoạn đoạn làm đơn vị mới thì đơn vị mới bằng \(\frac {1}{b}\) đơn vị cũ.

• Nếu a>0 thì số \(\frac {a}{b}\) được biểu diễn bởi một điểm nằm bên phải điểm 0 một đoạn bằng \(\left |a \right |\) lần đơn vị mới.

• Nếu a<0 thì số \(\frac {a}{b}\) được biểu diễn bởi một điểm nằm bên trái điểm 0 một đoạn bằng \(\left |a \right |\) lần đơn vị mới.

• Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.

Ví dụ: Biết diễn số hữu tỉ \(\dfrac {5}{4}\) trên trục số:

Để so sánh hai số hữu tỉ x,y ta làm như sau:

- Viết x,y dưới dạng phân số cùng mẫu dương.

- So sánh các tử là số nguyên a và b.

• Nếu a> b thì x > y.
• Nếu a = b thì x=y.
• Nếu a < b thì x < y.

• Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương.

• Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm.

• Số 0 không là số hữu tỉ dương, cũng không là số hữu tỉ âm.

Câu 1: Với ba chữ số 1, hãy biểu diễn số hữu tỉ âm nhỏ nhất, số hữu tỉ âm lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Số hữu tỉ âm nhỏ nhất -111.

Số hữu tỉ âm lớn nhất \( - \frac{1}{{11}}\).

Câu 2: So sánh các số hữu tỉ sau bằng cách nhanh nhất:

a. \(\frac{{ - 1}}{3}\) và \(\frac{1}{{100}}\)               

b. \(\frac{{ - 231}}{{232}}\) và \(\frac{{-1321}}{{1320}}\)

c. \(\frac{{ - 13}}{{38}}\) và \(\frac{{29}}{{ - 88}}\)            

d. \(\frac{{ - 27}}{{29}}\) và \(\frac{{ - 272727}}{{292929}}\)

Hướng dẫn giải

a. \(\frac{{ - 1}}{3} < 0 < \frac{1}{{100}} \Rightarrow \frac{{ - 1}}{3} < \frac{1}{{100}}\).

b.   \(\frac{{231}}{{232}} < 1 < \frac{{1321}}{{1320}} \Rightarrow \frac{{ - 231}}{{232}} > \frac{{ - 1321}}{{1320}}\).

c. \(\frac{{13}}{{38}} > \frac{{13}}{{39}} = \frac{1}{3} = \frac{{29}}{{87}} > \frac{{29}}{{88}} \Rightarrow \frac{{ - 13}}{{38}} < \frac{{29}}{{ - 88}}\).

d. \(\frac{{ - 27}}{{29}} = \frac{{ - 27.10101}}{{29.10101}} = \frac{{ - 272727}}{{292929}}\) và \(\frac{{ - 272727}}{{292929}}\).

Câu 3: Cho hai số nguyên a và b trong đó a < b và b > 0. Chứng minh:  \(\frac{a}{b} < \frac{{a + 1}}{{b + 1}}\).

Hương dẫn giải

Ta có:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a(b + 1)}}{{b(b + 1)}} = \frac{{ab + a}}{{b(a + 1)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,b > 0,b + 1 > 0\).

\(\frac{{a + 1}}{{b + 1}} = \frac{{b(a + 1)}}{{b(b + 1)}} = \frac{{ab + b}}{{b(b + 1)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,b > 0\).

Mà a < b nên suy ra ab+ a < ab +b.

Vậy \(\frac{a}{b} < \frac{{a + 1}}{{b + 1}}\).

Câu 1: Với ba chữ số 3, hãy biểu diễn số hữu tỉ âm nhỏ nhất, số hữu tỉ âm lớn nhất.

Câu 2: So sánh các số hữu tỉ sau bằng cách nhanh nhất:

a. \(\frac{{ - 1}}{2}\) và \(\frac{1}{{99}}\)               

b. \(\frac{{ - 197}}{{198}}\) và \(\frac{{-2345}}{{2344}}\)

Câu 1: Cách nào đúng trong các cách viết sau:

A. \( - 5 \in N\)

B. \( Q \in N\)

C. \( - \frac{3}{7} \in Z\)

D. \( - 5 \in Q\)

Câu 2: Số hữu tỉ x nhỏ hơn số hữu tỉ y nếu trên trực số:

A. điểm x ở bên  phải điểm y

B. điểm x ở bên trái điểm y

C. điểm x và điểm y khác phía đối với điểm 0

D. cả 3 đáp án đều sai

Câu 3: Cách nào đúng trong các cách viết sau: 

A. \(Q \subset Z\)

B. \(Z \subset N\)

C. \(Q \subset N\)

D. \(N \subset Q\)

Câu 4: Chọn câu sai trong các câu  

A. Số  \(2\dfrac{2}{9}\) ​  là số hữu tỉ

B. Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ

C. Số  \(5\dfrac{1.09}{2.03}\)  là số hữu tỉ

D. Số hữu tỉ là các số được viết dưới dạng  [\frac{a}{b}]  với a,b ϵ Ζ

Câu 5: Chọn câu đúng

A. Tập hợp các phân số bằng  [-\frac{10}{29}]  là [-\frac{10k}{29k}]

B. Số là số hữu tỉ  \(\frac{0}{-19}  âm

C. Tập hợp số tự nhiên là con của tập hợp số hữu tỉ

D. Nếu a và b cùng nhỏ hơn 0 thì phân số  \(\frac{a}{b}<0\)

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Định nghĩa số hữu tỉ.

• Biểu diến số hữu tỉ trên trục số.

• So sánh số hữu tỉ.