Toán 7 Chương 2 Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (g-c-g)

Để vẽ được tam giác ABC tổng các số đo của hai góc đã cho phải nhỏ hơn \({180^0}\)

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác  này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C'\) có

\(\begin{array}{l}\widehat B = \widehat {B'}\\BC = B'C'\\\widehat C = \widehat {C'}\end{array}\)

Thì \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\,\,\,(c.g.c)\)

Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác  vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề  cạnh ấy của tam giác  vuông kia thì tam giác vuông đó bằng nhau.

Hệ quả 2: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì tam giác vuông đó bằng nhau.

Câu 1: Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat B = \widehat C\)

Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Tia phân giác của góc C cắt AB ở E. So sánh độ dài các đoạn thẳng BD và CE.

Hướng dẫn giải

\(\Delta EBC\) và \(\Delta DCB\) có:

\(\widehat {EBC} = \widehat {DCB}\) (gt \(\widehat B = \widehat C\))

BC cạnh chung

\(\widehat {ECB} = \widehat {DBC}\,(gt\, = \frac{1}{2}\widehat B = \frac{1}{2}\widehat C)\)

Nên \(\Delta EBC = \Delta DCB\) (c.g.c)

Suy ra CE = BD.

Câu 2: Cho tam giác ABC có AB = AC và \(\widehat B = \widehat C\). Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE. Gọi I là giao điểm  của BE và CD. Chứng minh rằng: \(\Delta IBD = \Delta ICE.\)

Hướng dẫn giải

Xét hai tam giác ABE và ACB chúng có:

AB = AC (giả thiết)

 \(\widehat A\) chung

AD = AE (giả thiết)

Nên \(\Delta ABE = \Delta ACD\,\,(c.g.c)\)

Suy ra BE = CD và \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\,\,{\,^{(1)}}\)

Ta có AB = AC và AD = AE  (giả thiết)

Nên BD = CE

\(\widehat B = \widehat C\) (giả thiết) \(^{(2)}\)

BC chung

Do đó \(\Delta BCD = \Delta CBE\)

Suy ra \(\widehat {BCD} = \widehat {CEB}\,{\,^{(3)}}\)

Từ (1), (2), (3) ta có:

\(\Delta IBD = \Delta ICE\,\,\,(g.c.g)\)

Câu 3: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy cac điểm D và E sao BD = CE. Qua D và E kẻ các đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC theo thứ tự I và K.

Chứng minh rằng: DI + EK = AB

Hướng dẫn giải

Qua D vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại L.

Xét hai tam giác BDL và ECK có:

\({B_1} = {E_1}\) (cặp góc đồng vị do EK//AB)

BD=CE (giả thiết)

\({D_1} = C\) (cặp góc đồng vị do DK // CA)

\( \Rightarrow \Delta BDL = \Delta ECK\) (g.c.g)

\( \Rightarrow BL = EK\,\,{\,^{(1)}}\)

Mặt khác ta có:

AL = DI (theo bài 350) \(^{(2)}\)

Mà \(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}AL{\rm{ }} + {\rm{ }}LB\,{\,^{(3)}}\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AB = DI + EK

Câu 1: Cho tam giác ABC (AB=AC) và I là trung điểm của cạnh đáy BC. Dựng tia Cx song song với tia BA sao cho hai tia BA và Cx nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng BC. Lấy một điểm D nào đó trên AB. Gọi E là một điểm trên tia Cx sao cho BD = CE. Chứng minh rằng: Ba điểm D, I, E thẳng hàng.

Câu 2: Cho tam giác ABC biết AB =3cm, BC=5cm và CA=4cm. Gọi đường thẳng qua A và song song với BC là a, đường thẳng qua B và song song với CA là b và đường thẳng C vào song song với AD là c. Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là giao điểm của các đường thẳng b và c, a và c,a và b. Tìm độ dài các cạnh của tam giác A’B’C’.

Câu 3: Tam giác ABC có \(\widehat A = {60^0},\,\) các tia phân giác BM và CN cắt nhau ở I. Biết rằng BC=4m. Tính tổng BN=CM.

Câu 1: Cho tam giác ABC và tam giác NPM có BC = PM, \(\widehat B = \widehat P\). Cần thêm một điều kiện gì để tam giác MPN và tam giác CBA bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc?

A. \(\widehat M = \widehat A\)

B. \(\widehat A = \widehat P\)

C. \(\widehat C= \widehat M\)

D. \(\widehat A = \widehat N\)

Câu 2: Cho tam giác ABC và tam giác MNP có \(\widehat A = \widehat M,\widehat B = \widehat N\). Cần thêm điều kiện gì để tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc

A. AC = MP

B. AB = MN

C. BC = NP

D. AC = MN

Câu 3: Cho tam giác ABC và tam giác MNP có \(\widehat B = \widehat N = {90^0}\), AC = MP, \(\widehat C = \widehat M\). Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là đúng 

A. \(\Delta ABC = \Delta PMN\)

B. \(\Delta ACB = \Delta PNM\)

C. \(\Delta BAC = \Delta PNM\)

D. \(\Delta ABC = \Delta PNM\)

Câu 4: Cho góc nhọn xOy, Oz là tia phân giác của góc đó. Qua điểm A thuộc tia Ox kẻ đường thẳng song song với Oy cắt Oz ở M. Qua M kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy ở B. Chọn câu đúng

A. OA > OB, MA > MB

B. OA = OB, MA = MB

C. OA < OB, MA < MB

D. OA < OB, MA = MB

Câu 5: Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm của AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax, By vuông góc với AB. Gọi C là điểm thuộc tia Ax. Đường vuông góc với OC tại O cắt tia By ở D. Khi đó

A. AC = CD - BD

B. AC = DC + BD

C. CD = AC - BD

D. CD = AC + BD

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Chú ý khi vẽ tam giác biết một cạnh và hai góc kề.

• Trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của tam giác và hệ quả.

• Vận dụng lý kiến thức làm được các bài toán liên quan.