Toán 7 Chương 3 Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

- Trong tam giác ABC tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M.

• Đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác của tam giác ABC.
• Đường thẳng AM cũng gọi là đường phân giác của tam giác ABC.

- Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

- Tính chất: Trong một tam giá cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.

Ví dụ: 

Xét tam giác ABC có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
AB = AC\\
\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}
\end{array} \right. \Rightarrow BD = DC\)

Định lý: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Ví dụ: Tam giác ABC có ba đường phân giác giao nhau tại I, khi đó: \(ID=IE=IF\)

Câu 1: Cho tam giác ABC hai đường thẳng phân giác trong của hai góc \(\widehat B\) và \(\widehat C\)cắt nhau ở điểm I và hai đường phân giác ngoài của hai góc ấy cắt nhau ở điểm D. Chứng minh rằng ba điểm A, I, D thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Hai phân giác trong của hai góc \(\widehat B\) và \(\widehat C\)cắt nhau tại I nên I phải thuộc phân giác góc \(\widehat A\)

Từ D hạ DH, DK, DJ vuông góc lần lượt với AB, BC, AC.

Ta có: DH = DK (do D thuộc phân giác ngoài của góc B)

Tương tự: \(DK{\rm{ }} = {\rm{ }}DJ \Rightarrow DH = DJ\)

Điều này chứng tỏ D thuộc phân giác góc A hay D thuộc AD.

Vậy A, I, D thẳng hàng.

Câu 2: Tam giác ABC có trung tuyến AM đồng thời là phân giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.

Hướng dẫn giải

Kéo dài AM một đoạn MD = AM

\(\Delta AMB\) và \(\Delta DMC\) có:

AM = DM (cách vẽ)

\(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh)

MB = MC (gt)

Nên \(\Delta AMB = \Delta DMC\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat D;AB = CD\)   (1)

Ta có \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\,\,(gt),\,\widehat {{A_1}} = \widehat D \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat D\)

Do đó \(\Delta ACD\) suy ra \(AC = CD\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC

Vậy \(\Delta ABC\)là tam giác cân.

Câu 1: Hai đường phân giác của góc B và C trong tam giác ABC cắt nhau ở I. Chứng minh rằng: \(\widehat {BIC} = 90 + \frac{{\widehat A}}{2}.\)

Câu 2: Cho tam giác vuông ABC \((\widehat A = {90^0})\). Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho \(\widehat {ABC} = 3\widehat {ABD}\). Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho \(\widehat {ACB} = 3\widehat {ACE}.\) Gọi F là giao điểm của BD và CE; I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác BFC.

a) Tính \(\widehat {BFC.}\)

b) Chứng tỏ rằng tam giác DEI là tam giác đều.

Câu 3: Cho \(\Delta ABC\). Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác hai góc A và B. Qua I vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AB tại M, cắt AC tại N. Chứng minh rằng: MN = BM + CN.

Câu 1: Cho tam giác ABC, các tia phân giác của góc B và A cắt nhau tại điểm O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Cho BM = 2cm, CN = 3cm. Tính MN

A. 5cm

B. 6cm

C. 7cm

D. 8cm

Câu 2: Chọn phát biểu đúng nhất

A. Ba tia phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác 

B. Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác

C. Trong một tam giác, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cũng đồng thời là đường phân giác ứng với cạnh đáy

D. Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Câu 3: Điểm E nằm trên tia phân giác góc A của tam giác ABC ta có:

A. E nằm trên tia phân giác góc B

B. E cách đều hai cạnh AB, AC

C. E nằm trên tia phân giác góc C
D. EB = EC

Câu 4: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tại I. Khi đó

A. AI là trung tuyến vẽ từ A

B. AI là đường cao kẻ từ A

C. AI là trung trực cạnh BC

D. AI là phân giác của góc A

Câu 5: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {70^0}\), các đường phân giác BE và CD của góc B và góc C cắt nhau tại I. Tính \(\widehat {BIC}\)

A. 125⁰

B. 100⁰

C. 105⁰

D. 140⁰

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Hiểu được định nghĩa, tính chất đường phân giác của tam giác.
• Áp dụng làm được những bài toán liên quan.