Toán 7 Chương 3 Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

eLib xin giới thiệu đến các em nội dung bài giảng do eLib tổng hợp và biên soạn dưới đây. Bài học sẽ giúp các em tìm hiểu về Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu cùng với những bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng nắm đươc nội dung phần này.

Toán 7 Chương 3 Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên.

Từ điểm A không nằm trên đường thẳng thẳng d, kẻ một đường thẳng thẳng vuông góc với d tại H. Lấy một điểm B bất kì trên đường thẳng d khác điểm H.

Khi đó:

  • Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
  • Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
  • Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

1.2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.

Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở  ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ: AH ⊥ a ⇒ AH

1.3. Các đường xiên và hình chiếu của chúng.

Định lí 2:  Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng thẳng đến đường thẳng thẳng đó:

  • Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

Ví dụ: AH ⊥ a, HD > HC ⇒ AD > AC

  • Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

Ví dụ: AH ⊥ a, AD > AC ⇒ HD > HC

  • Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

Ví dụ: AB = AC ⇔ HB = HC

2. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng bất kì đi qua A. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C lên a.

a) Chứng minh CN bằng hình chiếu của AB trên xy.

b) Chứng minh rằng khi a // BC thì các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Ta có MA là hình chiếu của AB trên a.

Xét hai tam giác AHB và CHA có:

AB = AC (giả thiết)

\(\widehat B = \widehat A\) (cùng phụ với \(\widehat {{A_2}}\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AHB = \Delta CHA\\ \Rightarrow MA = CN\end{array}\)

b) a // BC lúc đó các tam giác AMB và CAN là các tam giác vuông cân nên AM = AN nghĩa là các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau.

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm B’ trên cạnh AB, lấy điểm C’ trên cạnh AC. So sánh B’C’ và BC.

Hướng dẫn giải

Ta có: AC’ < AC nên B’C’ < B’C (định lý)

Lại có AB’ < AB nên B’C < BC (định lý)

Suy ra B’C’ < BC.

Câu 3: Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A và tia phân giác CP. Chứng minh:

a) PA > CA

b) CP < CB

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

APC là góc ngoài tại P của \(\Delta BPC.\) Nên: \(\widehat {APC} = \widehat B + \frac{{\widehat C}}{2} > \frac{{\widehat C}}{2} = \widehat {ACP}\)

Tam giác APC có:

\(\widehat {ACP} < \widehat {APC} \Rightarrow PA < CA\)

b) Ta có: AP < AB (gt)

\( \Rightarrow CP < CB\,\) (định lý)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Cho \(\Delta ABC\), kẻ \(AH \bot BC\) tại H. Chứng minh rằng:

a) \(AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\)

b) Kẻ \(BK \bot AC\) tại K, \(CL \bot AB\) tại L.

Chứng minh \(AH + BK + CL < AB + BC + CA.\)

Câu 2: Cho \(\Delta ABC\)biết \(\widehat C < \widehat B < {90^0}.\) Kẻ \(AE \bot BC,\,\,BF \bot AC\,\,(E \in BC,F \in AC).\) Gọi H là giao điểm của AE và BF. Chứng minh HB < HC.

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ \(AH \bot BC.\) Trên cạnh huyền BC lấy D sao cho BD = AE. Trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AH.

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho tam giác ABC có CE và BD là hai đường cao. So sánh BD + CE và AB + AC?

A. BD + CE < AB + AC

B. BD + CE > AB + AC

C. \(BD{\rm{ }} + {\rm{ }}CE{\rm{ }} \le {\rm{ }}AB{\rm{ }} + {\rm{ }}AC\)

D. \(BD{\rm{ }} + {\rm{ }}CE{\rm{ }} \ge {\rm{ }}AB{\rm{ }} + {\rm{ }}AC\)

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E (D, E không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Chọn đáp án đúng nhất.

A. DE > BE > BC

B. DE < BE < BC

C. DE > BE = BC

D. DE < BE = BC

Câu 3: Cho D là một điểm nằm trong tam giác ABC. Nếu AD = AB thì 

A. AB = AC

B. AB > AC

C. AB < AC

D. \(AB \le AC\)

Câu 4: Cho hình vẽ sau:

Em hãy chọn đáp án sai trong các đáp án sau:

A. MA > MH

B. HB < HC

C. MA = MB
D. MC < MA

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM. So sánh BD + BE và AB

A. BD + BE > 2AB

B. BD + BE < 2AB

C. BD + BE = 2AB

D. BD + BE < AB

4. Kết luận

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

  • Nắm được khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên
  • Hiểu được liên hệ giữa đường vuông góc và đường xiên; đường xiên và hình chiếu của chúng.
  • Áp dụng là được những bài toán liên quan.
Ngày:23/08/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM