Toán 7 Chương 3 Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

1. Tóm tắt lý thuyết

Từ điểm A không nằm trên đường thẳng thẳng d, kẻ một đường thẳng thẳng vuông góc với d tại H. Lấy một điểm B bất kì trên đường thẳng d khác điểm H.

Khi đó:

• Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
• Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
• Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở  ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ: AH ⊥ a ⇒ AH

Định lí 2:  Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng thẳng đến đường thẳng thẳng đó:

• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

Ví dụ: AH ⊥ a, HD > HC ⇒ AD > AC

• Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

Ví dụ: AH ⊥ a, AD > AC ⇒ HD > HC

• Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

Ví dụ: AB = AC ⇔ HB = HC

2. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng bất kì đi qua A. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C lên a.

a) Chứng minh CN bằng hình chiếu của AB trên xy.

b) Chứng minh rằng khi a // BC thì các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Ta có MA là hình chiếu của AB trên a.

Xét hai tam giác AHB và CHA có:

AB = AC (giả thiết)

\(\widehat B = \widehat A\) (cùng phụ với \(\widehat {{A_2}}\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AHB = \Delta CHA\\ \Rightarrow MA = CN\end{array}\)

b) a // BC lúc đó các tam giác AMB và CAN là các tam giác vuông cân nên AM = AN nghĩa là các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau.

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm B’ trên cạnh AB, lấy điểm C’ trên cạnh AC. So sánh B’C’ và BC.

Hướng dẫn giải

Ta có: AC’ < AC nên B’C’ < B’C (định lý)

Lại có AB’ < AB nên B’C < BC (định lý)

Suy ra B’C’ < BC.

Câu 3: Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A và tia phân giác CP. Chứng minh:

a) PA > CA

b) CP < CB

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

APC là góc ngoài tại P của \(\Delta BPC.\) Nên: \(\widehat {APC} = \widehat B + \frac{{\widehat C}}{2} > \frac{{\widehat C}}{2} = \widehat {ACP}\)

Tam giác APC có:

\(\widehat {ACP} < \widehat {APC} \Rightarrow PA < CA\)

b) Ta có: AP < AB (gt)

\( \Rightarrow CP < CB\,\) (định lý)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Cho \(\Delta ABC\), kẻ \(AH \bot BC\) tại H. Chứng minh rằng:

a) \(AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\)

b) Kẻ \(BK \bot AC\) tại K, \(CL \bot AB\) tại L.

Chứng minh \(AH + BK + CL < AB + BC + CA.\)

Câu 2: Cho \(\Delta ABC\)biết \(\widehat C < \widehat B < {90^0}.\) Kẻ \(AE \bot BC,\,\,BF \bot AC\,\,(E \in BC,F \in AC).\) Gọi H là giao điểm của AE và BF. Chứng minh HB < HC.

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ \(AH \bot BC.\) Trên cạnh huyền BC lấy D sao cho BD = AE. Trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AH.

Câu 1: Cho tam giác ABC có CE và BD là hai đường cao. So sánh BD + CE và AB + AC?

A. BD + CE < AB + AC

B. BD + CE > AB + AC

C. \(BD{\rm{ }} + {\rm{ }}CE{\rm{ }} \le {\rm{ }}AB{\rm{ }} + {\rm{ }}AC\)

D. \(BD{\rm{ }} + {\rm{ }}CE{\rm{ }} \ge {\rm{ }}AB{\rm{ }} + {\rm{ }}AC\)

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E (D, E không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Chọn đáp án đúng nhất.

A. DE > BE > BC

B. DE < BE < BC

C. DE > BE = BC

D. DE < BE = BC

Câu 3: Cho D là một điểm nằm trong tam giác ABC. Nếu AD = AB thì 

A. AB = AC

B. AB > AC

C. AB < AC

D. \(AB \le AC\)

Câu 4: Cho hình vẽ sau:

Em hãy chọn đáp án sai trong các đáp án sau:

A. MA > MH

B. HB < HC

C. MA = MB
D. MC < MA

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM. So sánh BD + BE và AB

A. BD + BE > 2AB

B. BD + BE < 2AB

C. BD + BE = 2AB

D. BD + BE < AB

4. Kết luận

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Nắm được khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên
• Hiểu được liên hệ giữa đường vuông góc và đường xiên; đường xiên và hình chiếu của chúng.
• Áp dụng là được những bài toán liên quan.