Toán 7 Chương 4 Bài 9: Nghiệm của đa thức một biến

Nếu tại \(x=a\) đa thức \(P(x)\) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức đó.

Ví dụ 1: Trong các số \(-1; 1; 2\) số nào là nghiệm của đa thức \(f(x) = {x^2} - 3x + 2\)?

Ta có đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\)

• Với \(x=-1\) thì \(f\left( { - 1} \right) = {( - 1)^2} - 3.( - 1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 \ne 0\) nên x=-1 không là nghiệm của đa thức f(x).
• Với \(x=1\) thì \(f\left( 1 \right) = {1^2} - 3.1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\) nên x=1 là một nghiệm của đa thức f(x).
• Với \(x=2\) thì \(f\left( 2 \right) = {2^2} - 3.2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0\) nên x=2 là một nghiệm của đa thức f(x)

Nhận xét:

• Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,…hoặc không có nghiệm nào.
• Người ta chứng minh được rằng số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vượt quá bậc của nó.

Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức \(P(x) = 2y + 6\)

Hướng dẫn giải

Từ \(2y + 6 = 0 ⇒ 2y = -6 ⇒ y =\dfrac{-6}{2} = -3\)

Vậy nghiệm của đa thức \(P(x)\) là \(-3\).

Câu 2: Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm.

a) \(P(x) = {x^2} + 1\)

b) \(Q(x) = (2{y^4} + 5)\)

Hướng dẫn giải

a. Vì \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 1 \ge 1\). Do đó:

\(P(x) = {x^2} + 1 > 0\) nên đa thức P(x) không có nghiệm.

b. Vì\({y^4} \ge 0\)nên \(2{y^4} + 5 \ge 5.\). Do đó:

\(Q(x) = 2{y^4} + 5 > 0\) nên đa thức Q(x) không có nghiệm.

Câu 3:

a) Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \(f(x) = {a^2} + bx + c\) có một nghiệm là x=1.

Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \(f(x) = 8{x^2} - 6x - 2.\)

b) Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a - b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) có một nghiệm là x=-1.

Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \(f(x) = 7{x^2} + 11x + 4.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(f(1) = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c = 0\)

Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)

Ta có 8+(-6)+(-2)=0, nên: \(f(x) = 8{x^2} - 6x - 2\) có một nghiệm x = 1.

b) Ta có: \(f( - 1) = a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + c = a - b + c = 0\)

Vậy x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x).

Ta thấy \(7 - (11) + 4 = 0,\) nên:

\(f\left( x \right) = 7{x^2} + 11x + 4\) có một nghiệm x = -1.

Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức:

a) \({x^2} - 2003x - 2004 = 0\).

b) \(2005{x^2} - 2004x - 1 = 0\).

Câu 2: Cho đa thức \(f(x) = {x^3} + 2{x^2} + {\rm{ ax}} + 1.\)

Tìm a biết rằng đa thức f(x) có một nghiệm x = -2.

Câu 3: Cho đa thức \(f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}.\) Trong đó các hệ số \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) và số hạng độc lập \({a_0}\) nhận các giá trị là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu f(x) có một nghiệm \(x = {x_0}\) nhận giá trị nguyên thì \({x_0}\) phải là một ước của \({a_0}\).

Câu 1: Số nghiệm của đa thức x³ + 27 là 

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Câu 2:Tích các nghiệm của đa thức 5x² - 10x là 

A. -22

B. 2

C. 0

D. 4

Câu 3: Cho đa thức f(x) = ax² + bx +c. Chọn câu đúng?

A. Nếu a + b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiêm x = 1 

B. Nếu a - b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiêm x = -1 

C. Cả A và B đều đúng 

D. Cả A và B đều sai

Câu 4: Cho đa thức sau f(x) = x² + 5x - 6. Các nghiệm của đa thức đã cho là:

A. 2 và 3

B. 1 và -6

C. -3 và -6

D. -3 và 8

Câu 5: Tổng các nghiệm của đa thức x² - 16 là 

A. -16

B. 8

C. 4

D. 0

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Nắm được khái niệm nghiệm của đa thức một biến.
• Biết cách tìm nghiệm của đa thức một biến.