Toán 9 Chương 3 Bài 1: Góc ở tâm và số đo cung

Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm.

 Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung.

• Với các góc α ( 0 < α < 180°) thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ.
• Cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.

ĐỊNH NGHĨA

Số đo cung của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Số đo của cung lớn bằng \(360^0\) trừ đi số đo của cung nhỏ

Số đo của nửa đường tròn bằng \(180^0\)

Kí hiệu: số đo cung AB là sđ\(\stackrel\frown{AB}\).

CHÚ Ý:

- Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn \(180^0\)

- Cung lớn có số đo lớn hơn \(180^0\)

- Cung có điểm đầu, điểm cuối trùng nhau có số đo \(0^0\).

- Cung có cả đường tròn có số đo là \(360^0\)

Trong cùng một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

ĐỊNH LÍ: Nếu C là một điểm trên cung AB thì: sđ\(\stackrel\frown{AB}\) = sđ\(\stackrel\frown{AC}\) + sđ\(\stackrel\frown{CB}\)

Câu 1: Hãy vẽ một đường tròn rồi vẽ hai cung bằng nhau

Kẻ AC, BD là hai đường kính bất kì của đường tròn (O) 

Ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (hai góc đối đỉnh)

Nên sđ cung AmB = sđ cung CnD suy ra \( \overparen{AmB}=\overparen {CnD}\)

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa ta có sđ\(\stackrel\frown{BC}=30^{0}\), sđ\(\stackrel\frown{AC}=45^{0}\)

Mà điểm C nằm trên cung AB nên sđ\(\stackrel\frown{AB}\)=sđ\(\stackrel\frown{AC}\)+sđ\(\stackrel\frown{BC}\)\(=45^0+30^0=75^0\)

Câu 2: Dựa vào hình vẽ sau, hãy tính số đo cung nhỏ BC:

Hướng dẫn giải

\(\bigtriangleup OAC\) có \(OA=OC\) nên \(\bigtriangleup OAC\) cận tại \(O\), suy ra \(\widehat{AOC}=180^0-2\widehat{OAC}=180^0-2.30^0=120^0\).

Khi đó, số đo cung lớn BC là: sđ\(\stackrel\frown{BC}\)lớn  \(=110^0+120^0=230^0\).

Suy ra sđ\(\stackrel\frown{BC}\)nhỏ\(=360^0-\)sđ\(\stackrel\frown{BC}\)lớn \(=360^0-230^0=130^0\)

Vậy số đo cung nhỏ BC là \(130^0\).

Câu 3: Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. A là điểm thuộc đường tròn sao cho \(\widehat{AOC}=75^0\). So sánh số đo hai cung nhỏ AC và AB:

Hướng dẫn giải

Ta có \(\widehat{AOC}+\widehat{AOB}=180^0\Rightarrow \widehat{AOB}=180^0-\widehat{AOC}=180^0-75^0=105^0\).

Từ đó suy ra sđ\(\stackrel\frown{AC}=75^0\), sđ\(\stackrel\frown{AB}=105^0\) nên sđ\(\stackrel\frown{AB}\)>sđ\(\stackrel\frown{AC}\).

Câu 1: Cho hình vẽ sau: 

Tính số đo cung nhỏ AB, \(\widehat{ADB}\) từ đó so sánh hai cạnh AC và AD.

Hướng dẫn giải

\(\bigtriangleup ACO\) vuông tại A có \(\widehat{ACO}=20^0\) nên \(\widehat{AOC}=90^0-20^0=70^0\Rightarrow\)sđ\(\stackrel\frown{AB}=70^0\)

\(\widehat{AOB}\) là góc ngoài của tam giác cân AOD. Nên \(\widehat{ADB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}.70^0=35^0\).

Xét \(\bigtriangleup ACD\) có \(\widehat{ACD}<\widehat{ADC}(20^0<35^0)\) nên \(AC>AD\).

Câu 2: Dựa vào hình dưới, hãy tính số đo cung nhỏ AB, biết rằng B là trung điểm OC.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại A có B là trung điểm OC nên BO=BC=BA.

Mà OB=OA suy ra OB=OA=AB, từ đó \(\bigtriangleup OAB\) đều. Lúc đó \(\widehat{AOB}=60^0\) nên số đo cung nhỏ AB là \(60^0\).

Câu 1: 

a. Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?

b. Từ 3 giờ đến 6 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ?

Câu 2: Hãy xếp một tờ giấy để cắt thành một hình ngôi sao năm cánh đều nhau. Muốn cắt chỉ bằng một nhát kéo thì phải gấp tờ giấy đó thành một hình có góc ở tâm bằng bao nhiêu độ?

Câu 3: Hai tiếp tuyến tại A,B của đường tròn (O ;R) cắt nhau tại M. Biết OM =2R. Tính số đo của góc ở tâm AOB?

Câu 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A ,B .Hãy so sánh R và R’ trong các trường hợp sau:

a. Số đo cung nhỏ AB của (O ;R) lớn hơn số đo cung nhỏ AB của (O’ ;R’)

b. Số đo cung nhỏ AB của (O ;R) nhỏ hơn số đo cung nhỏ AB của (O’ ;R’)

c. Số đo hai cung nhỏ bằng nhau

Câu 1: Tính số đo cung nhỏ BD và so sánh số đo hai cung nhỏ CD và AB:

A. sđ\(\stackrel\frown{BD}=80^0\)  và sđ\(\stackrel\frown{AB}\) > sđ\(\stackrel\frown{CD}\)

B. sđ\(\stackrel\frown{BD}=80^0\)  và sđ\(\stackrel\frown{AB}\) < sđ\(\stackrel\frown{CD}\)

C. sđ\(\stackrel\frown{BD}=85^0\) và sđ\(\stackrel\frown{AB}\) > sđ\(\stackrel\frown{CD}\)

D. sđ\(\stackrel\frown{BD}=85^0\) và sđ\(\stackrel\frown{AB}\) < sđ\(\stackrel\frown{CD}\)

Câu 2: Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ\(\stackrel\frown{BC}\) = sđ\(\stackrel\frown{AC}\) - sđ\(\stackrel\frown{AB}\)

B.  Cung lớn có số đo nhỏ hơn 1800

C. Góc có đỉnh trùng với tâm được gọi là góc ở tâm

D. Cung nhỏ có số đo lớn hơn 1800

Câu 3: Trong các phát biểu dưới đây, có bao nhiêu phát biểu sai?

a) Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn là cung nhỏ hơn.

b) Trong hai cung trên cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau, hai cung bằng nhau thì có cùng số đo.

c) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì lớn hơn.

d) Số đo của nửa cung tròn bằng \(90^0\).

A. 4

B. 2

C. 1

D. 3

Câu 4: Tìm số đo cung nhỏ AB và cung nhỏ CD trên hình vẽ: 

A. sđ\(\stackrel\frown{AB}=120^0\),sđ\(\stackrel\frown{CD}=80^0\)

B. sđ\(\stackrel\frown{AB}=130^0\),sđ\(\stackrel\frown{CD}=100^0\)

C. sđ\(\stackrel\frown{AB}=115^0\),sđ\(\stackrel\frown{CD}=80^0\)

D. sđ\(\stackrel\frown{AB}=120^0\),sđ\(\stackrel\frown{CD}=100^0\)

Câu 5: Biết số đo cung nhỏ AC bằng 1100, tính \(\widehat{BOC}\)?

A. \(120^0\)

B. \(100^0\)

C. \(130^0\)

D. \(90^0\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nhận biết được góc ở tâm, có thể chỉ ra 2 cung tương ứng, trong đó có cung bị chắn.
• So sánh được 2 cung trên một đường tròn căn cứ vào số đo (độ) của chúng.
• Bước đầu vần dụng được định lí để cộng cung.