Toán 9 Chương 4 Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

- Diện tích xung quanh của hình nón: ${S_{xq}} = \pi rl$

- Diện tích toàn phần của hình nón: ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}$

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $l$ là đường sinh)

- Thể tích hình nón là: $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với mặt đáy, ta được một hình nón cụt.

Cho hình nón cụt có $r_1,r_2$ là các bán kính đáy, $l$ là độ dài đường sinh, $h$ là chiều cao.

+ Diện tích xung quanh nón cụt là $S_{xq}=\pi (r_1+r_2).l$

+ Thể tích nón cụt là $V=\dfrac {1}{3}\pi h (r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$

Câu 1: Chiếc nón có dạng mặt xung quanh là một hình nón. Cho biết, đâu là đường tròn đáy, đâu là mặt xung quanh, đâu là đường sinh của nón.

Hướng dẫn giải

Đường tròn đáy là phần vành rộng nhất của nón

Mặt xung quanh là phần bên ngoài của nón, tính từ đỉnh nón đến đường tròn đáy

Đường sinh là đường thẳng bất kì, nối từ đỉnh đến đường tròn đáy

Câu 2: Hình mô tả chiếc nón của một chú hề được tạo bởi hình chóp và 2 hình tròn đồng tâm. Biêt rằng hình tròn nhỏ bỏ trống để chú hề có thể đội được nón. 

Cho $AB=10cm; OB=6cm, OC=9cm$. Tính diện tích để làm chiếc nón ấy

Hướng dẫn giải

Ta thấy chiếc nón chính là diện tích toàn phần của hình nón và phần diện tích hình tròn lớn trừ diện tích hình tròn nhỏ.

Lần lượt tính các giá trị đó, ta có:

$S{xq}=\pi rl=\pi .6.10=60 \pi (cm^2)$

$S_{(O;OC)}=\pi R^2=\pi.9^2=81 \pi (cm^2)$

$S_{(O;OB)}=\pi r^2=\pi.6^2=36 \pi (cm^2)$

Diện tích phần còn lại (phần đáy đã chừa đường tròn nhỏ): $81 \pi-36\pi=45\pi (cm^2)$

Vậy diện tích để làm chiếc nón là: $45\pi+60 \pi =105 \pi (cm^2)$

Câu 1: Cho hình là hình được ghép bởi một hình nón và một hình trụ, để hai hình này có thể tích bằng nhau thì chiều cao của hình nón phải bằng bao nhiêu lần chiều cao của hình trụ?

Hướng dẫn giải

Do thể tích của hình nón là: $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$

Thể tích hình trụ là $V=\pi r^2h$ nên tỷ lệ của chúng sẽ là 3

Câu 2: Một hình nón được một mặt phẳng cắt ngang song song với đáy tại trung điểm của đường cao, hình nón được chia ra thành một hình nón cụt và một hình nón. Tỷ lệ thể tích của hình nón mới và hình nón cụt vừa tạo ra là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta sẽ quay lại công thức tính thể tích của mỗi hình để suy ra tỷ lệ:

Ở hình bên, ta có P là trung điểm của AO, C là trung điểm của AC.

Dễ dàng suy ra được trong hình chóp cụt, đáy lớn có bán kính gấp đôi đáy bé.

$V_{chop}=\frac{1}{3}\pi r^2h(dvtt)$

$V_{chopcut}=\frac{1}{3}\pi h (r^2+4r^2+2r^2)=\frac{7}{3}\pi hr^2(dvtt)$

Vậy, tỷ lệ đề bài yêu cầu đó là $\frac{1}{7}$

Câu 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\widehat B = 60^\circ$ và $BC = 2a$ (đơn vị độ dài). Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh huyền $BC$. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình tạo thành.

Câu 2: Cho hình bình hành $ABCD$ với $AB = 1, AD = x\; (x > 0)$ và $\widehat {BAD} = 60^\circ$.

a) Tính diện tích toàn phần $S$ của hình tạo thành khi quay hình bình hành $ABCD$ đúng một vòng quanh cạnh $AB$ và diện tích toàn phần $S_1$ của hình tạo thành khi quay quanh cạnh $AD$.

b) Xác định giá trị $x$ khi $S = S_1$ và $S = 2S_1$.

Câu 3: Từ một hình nón, người thợ tiện có thể tiện ra một hình trụ cao nhưng “ hẹp” hoặc một hình trụ rộng nhưng “ thấp”. Trong trường hợp nào thì người thợ tiện loại bỏ ít vật liệu hơn?

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Gọi ${V_1},{V_2},{V_3}$ theo thứ tự là thể tích của những hình sinh ra khi quay tam giác $ABC$ một vòng xung quanh các cạnh $BC, AB$ và $AC.$ Chứng minh rằng:

$\displaystyle {1 \over {V_1^2}} = {1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}}.$

Câu 1: Một hình nón có bán kính đáy là $5cm$, đường sinh bằng $13cm$. Thể tích hình nón đã cho là:

A. $50 \pi (cm^3)$

B. $100 \pi (cm^3)$

C. $200 \pi (cm^3)$

D. $150 \pi (cm^3)$

Câu 2: Diện tích xung quanh của hình nón cụt có bán kính đáy lớn đáy nhỏ lần lượt là $15cm, 8cm$ và có đường sinh bằng $10cm$ là:

A. $70\pi (cm^2)$

B. $230\pi (cm^2)$

C. $12\pi (cm^2)$

D. $1200\pi (cm^2)$

Câu 3: Nếu chiều cao và bán kính đáy của một hình nón đều tăng lên và bằng $\displaystyle {5 \over 4}$ so với các kích thước tương ứng ban đầu thì trong các tỉ số sau đây, tỉ số nào là tỉ số giữa thể tích của hình nón mới với thể tích của hình nón ban đầu?

(A) $\displaystyle {5 \over 4};$                                        (B) $\displaystyle {{15} \over {12}};$

(C) $\displaystyle {{25} \over {16}};$                                      (D) $\displaystyle {{125} \over {64}}.$

Câu 4: Hình bên mô phỏng 1 chiếc đồng hồ cát, gồm một hình trụ lớn và 2 hình nón đối xứng với nhau.Tỉ số thể tích của tổng hai hình nón và cả hình trụ là:

A. $\frac{1}{3}$

B. $3$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{3}{2}$

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Biết được khái niệm về hình nón: đáy, mặt xung qunh, đường sinh, đường cao, mặt cắt song song với đáy của hình nón và có khái niệm về hình nón cụt.
• Xây dựng được công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón