Toán 9 Chương 3 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Mời các em học sinh tham khảo nội dung bài Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số gồm các kiến thức về quy tắc cộng đại số và các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số đã được eLib hệ thống lại đầy đủ và chi tiết.

Toán 9 Chương 3 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Quy tắc cộng đại số

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước:

  • Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
  • Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

1.2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

  • Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
  • Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
  • Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

2. Bài tập minh hoạ

2.1. Bài tập cơ bản

Câu 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số. 

\(\left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được

\(\left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right. \\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+y+2x-y =3+7 & & \\ 2x -y = 7& & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5x =10 & & \\ 2x -y = 7& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = 2x-7& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = 2.2-7& & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = -3& & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((2; -3)\).

Câu 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số \(\left\{\begin{matrix} (x+3)(y-5)=xy\\ (x-2)(y+5)=xy \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Ta có \(\left\{\begin{matrix} (x+3)(y-5)=xy\\ (x-2)(y+5)=xy \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} -5x+3y=15\\ 5x-2y=10 \end{matrix}\right.\)

Cộng hai phương trình theo vế ta được \(y=25\), Thế vào một trong hai phương trình của hệ tìm được \(x=12\).

Câu 3: Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0:

\(P(x) = (3m - 5n +18)x + (4m - n -10)\).

Hướng dẫn giải

\(P(x)=0<=>\left\{\begin{matrix} 3m - 5n +18 = 0 \\ 4m - n -10=0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 3m-5n=-18\\ 20m-5n=50 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 17m=68\\ 3m-5n=-18 \end{matrix}\right.\)\(<=>\left\{\begin{matrix} m=4\\ 3.4-5.n=-18 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} m=4\\ n=6 \end{matrix}\right.\)

2.2. Bài tập nâng cao

Câu 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số  \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}-\frac{x}{y+12}=1\\ \frac{x}{y-12}-\frac{x}{y}=2 \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \(y \neq 0, y \neq 12, y \neq -12\)

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}-\frac{x}{y+12}=1\\ \frac{x}{y-12}-\frac{x}{y}=2 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 12x=y(y+12)\\ 12x=2y(y-12) \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 12x=y^2+12y\\ 2y(y-12)-y(y+12)=0 \end{matrix}\right.\)\(<=>\left\{\begin{matrix} 12x=y^2+12y\\ y^2-36y=0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 12x=36^2+12.36\\ y=36 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} x=144\\ y=36 \end{matrix}\right.\)

Câu 2: Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} \left | x \right |+x+y=25 (1)\\ \left | y \right |+x-y=30 (2) \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Xét \(x <0\), hệ trở thành \(\left\{\begin{matrix} -x+x+y=25\\ \left | y \right |+x-y=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} y=25\\ x=30 \end{matrix}\right.\)  (loại vì \(x <0\))

Xét \(y\geq 0\), hệ trở thành \(\left\{\begin{matrix} \left |x \right |+x+y=25\\ y+x-y=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 30+30+y=25\\ x=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} y=-35\\ x=30 \end{matrix}\right.\)  (loại vì \(y\geq 0\))

Xét \(x \geq 0, y<0\), hệ trở thành \(\left\{\begin{matrix} 2x+y=25\\ x-2y=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 4x+2y=50\\ x-2y=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} x-2y=30\\ 5x=80 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 16-2y=30\\ x=16 \end{matrix}\right.\)\(<=>\left\{\begin{matrix} y=-7\\ x=16 \end{matrix}\right.\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

a) \(\left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 2x - 3y = 0& & \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 2x + y = 4& & \end{matrix}\right.\)

d) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 3y =-2 & & \\ 3x -2y = -3& & \end{matrix}\right.\)

Câu 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 5x\sqrt{3}+ y = 2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6} - y \sqrt{2} = 2& & \end{matrix}\right.\)

Câu 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) \(\left\{\begin{matrix} -5x + 2y = 4 & & \\ 6x - 3y =-7 & & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 11& & \\ -4x + 6y = 5 & & \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ x - \dfrac{2}{3}y = 3\dfrac{1}{3} & & \end{matrix}\right.\)

Câu 4: Giải hệ các phương trình:

a) \(\left\{\begin{matrix} 2(x + y)+ 3(x - y)=4 & & \\ (x + y)+2 (x - y)= 5& & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 2(x -2)+ 3(1+ y)=-2 & & \\ 3(x -2)-2 (1+ y)=-3& & \end{matrix}\right.\)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tìm số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x+2y=3\\ 2x+4y=0 \end{matrix}\right.\)

A. 1

B. 0

C. 2

D. vô số

Câu 2: Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} mx-y=1\\ 2x+y=3 \end{matrix}\right.\) là các số dương

​A. m=0

B. m=2

C. m=-2

D. m=1

Câu 3: Tìm nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x+y=2\\ x-y=2 \end{matrix}\right.\)

A. (2;0)

B. (1;0)

C. (0;2)

D. (1;1)

Câu 4: Tìm m để hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x-y=1\\ mx+y=2 \end{matrix}\right.\) vô nghiệm

​A. m=-1

B. m=0

C. m=1

D. m=2

Câu 5: Tìm nghiệm dương của hệ phương trình sau \(\left\{\begin{matrix} x^2+xy+zx=1\\ y^2+yz+xy=1\\ z^2+zx+yz=2 \end{matrix}\right.\)

A. \((\frac{1}{2};1;1)\)

B. \((1;\frac{1}{2};\frac{1}{2})\)

C. \((\frac{1}{2};\frac{1}{2};1)\)

D. \((\frac{1}{2};1;\frac{1}{2})\)

4. Kết luận

Qua bài này giúp học sinh:

  • Biết được 2 bước trong quy tắc cộng đại số giải hệ phương trình và 2 trường hợp áp dụng của phương pháp cộng đại số trong giải hệ phương trình.
  • Tính và giải được các hệ phương trình bằng phương pháp công đại số.
  • Biết cách áp dụng các trường hợp giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
Ngày:04/08/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM