Toán 9 Chương 3 Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

- $\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}\Rightarrow AB=CD$

- $AB=CD\Rightarrow\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}$

Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

- $\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\Rightarrow AB>CD$

- $AB>CD\Rightarrow\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}$

- Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Câu 1: Xem hình 11.

Hãy viết giả thiết và kết luận của định lý

Hướng dẫn giải

Giả thiết: Cho $\left( O \right)$ có hai dây $AB$ và $CD$

Kết luận:

Nếu cung $AB$ $>$ cung $CD$ thì $AB > CD$

Nếu $AB > CD$ thì cung $AB$ $>$ cung $CD$

Câu 2: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $BC$. Điểm $A$  trên đường tròn sao cho $\widehat{ABC}=70^0$. So sánh $AB$ và $AC$

Hướng dẫn giải

$\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{ABC}=70^0$ nên $\widehat{ACB}=90^0-70^0=20^0$, suy ra $\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{AC}\Rightarrow AC>AB$

Câu 1: Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $\stackrel\frown{AB},\stackrel\frown{CD}$ của đường tròn. Gọi $H,K$ là lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ $O$ đến $AB,CD$.

Chứng minh rằng $\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\Leftrightarrow OH$

Hướng dẫn giải

Ta thấy $\bigtriangleup OAB$ cân tại $O$ và $\bigtriangleup OCD$ cân tại $O$ nên $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.

Lúc đó: $\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\Leftrightarrow AB>CD\Leftrightarrow OH$

Câu 2: Cho $(O)$ có dây cung $BC$ cố định. Gọi $A$ là điểm thuộc cung lớn $BC$ sao cho $\widehat{ABC}>\widehat{ACB}$. Chứng minh rằng khoảng cách từ $O$ đến $AB$ lớn hơn khoảng cách từ $O$ đến $AC$

Hướng dẫn giải

Gọi $P,Q$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $O$ đến $AB,AC$. Ta sẽ chứng minh $OP>OQ$.

$\bigtriangleup ABC$ có $\widehat{ABC}>\widehat{ACB}$ nên $ABOQ$

Câu 1: Cho tam giác ABC có AB > AC .Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác BCD .Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH,OK xuống BC và BD (H ∈ BC , K ∈ BD)

a. Chứng minh rằng OH < OK

b. So sánh hai cung nhỏ BD và BC

Câu 2: Cho đường tròn tâm O.Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm C, D. Từ C kẻ CH vuông góc với AB,nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Từ A kẻ AK vuông góc với DC, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng:

a. Hai cung nhỏ CF và BD bằng nhau

b. Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau

c. DE = BF

Câu 3: Cho đường tròn tâm O.Gọi I là điểm chính giữa của cung AB (không phải là cung nửa đường tròn) và H là trung điểm của dây AB .Chứng minh rằng đường thẳng IH đi qua tâm O của đường tròn

Câu 4: Cho đường tròn (O; R). Hãy vẽ hai cung (không phải là cung lớn) biết rằng cung này có số đo gấp 3 lần số đo cung kia và có dây căng cung dài gấp đôi dây căng cung kia

Câu 1: Cho đường tròn (O) có đường kính BC=8cm. A là điểm trên đường tròn sao cho $\widehat{COA}=120^0$. Khi đó AC bằng:

A. $4 cm$

B. $4\sqrt{2} cm$

C. $4\sqrt{3} cm$

D. Đáp án khác

Câu 2: Cho đường tròn (O) và hai điểm A,B nằm trên đường tròn. Kẻ đường kính AC,BD của đường tròn. Biết rằng $\widehat{OAB}=45^0$ và bán kính của đường tròn là 12cm. Độ dài CD là:

A. $11cm$

B. $6cm$

C. $8cm$

D. $12\sqrt{2} cm$

Câu 3: Phát biểu nào sau đây là đúng:

A. Trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

B. Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

C. Hai cung bằng nhau căng dây bằng nhau.

D. Dây lớn hơn căng cung nhỏ hơn.

Câu 4: Cho đường tròn (O) đường kính BC=20cm. A là điểm chính giữa cung BC. Khẳng định nào dưới đây là sai:

A. $AB>AO$

B. $AB=AC=10\sqrt{3} cm$

C. $\widehat{ABC}=45^0$

D. $AO\perp BC$

Câu 5: Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây:

1. Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

2. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì song song với dây căng cung ấy và ngược lại.

3. Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

4. Hai đường tròn (O;3cm) và (O';4cm). Cung AB trên (O), cung CD trên (O'). Nếu AB=CD thì $\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}$ và ngược lại.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Phát biểu và chứng minh được định lí 1 và định lí 2
• Nhận xét được vì sao các định lí 1, 2 chỉ phát biểu đối với các cung nhỏ trong đường tròn hay 2 đường tròn bằng nhau.