Toán 9 Chương 2 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Cho AB và CD là 2 dây (khác đường kính) của đường tròn (O;R). Gọi OE, OF theo thứ tự là khoảng cách từ O đến AB, CD. CMR: \(OE^2+EB^2=OF^2+FD^2\)

Áp dụng định lý pi-ta-go cho 2 tam giác vuông OEB và OFD ta có:

\(OE^2+EB^2=OB^2=R^2\) và \(OF^2+FD^2=OD^2=R^2\) ta có đpcm

Định lý 1

Trong một đường tròn: 

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Định lý 2

Trong một đường tròn

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

Câu 1: Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1.1 để chứng minh rằng:

a) Nếu AB = CD thì OH = OK.

b) Nếu OH = OK thì AB = CD.

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn \((O)\) có 

OH là một phần đường kính vuông góc với dây AB

\( \Rightarrow \) H là trung điểm của \(AB \Rightarrow AB{\rm{ }} = {\rm{ }}2HB\)

OK là một phần đường kính vuông góc với dây CD

\( \Rightarrow \)  K là trung điểm của \(CD \Rightarrow CD{\rm{ }} = {\rm{ }}2KD\)

Theo mục 1: \(O{H^2} + H{B^2} = O{K^2} + K{D^2}\)

a) Nếu \(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}CD \Rightarrow HB{\rm{ }} = {\rm{ }}KD\)

mà \(O{H^2} + H{B^2} = O{K^2} + K{D^2}\) \( \Rightarrow O{H^2} = O{K^2} \Rightarrow OH = OK\)

b) Nếu \(OH = OK \Rightarrow O{H^2} = O{K^2}\)

mà \(O{H^2} + H{B^2} = O{K^2} + K{D^2}\) \( \Rightarrow HB{\rm{ }} = {\rm{ }}KD \Rightarrow AB{\rm{ }} = {\rm{ }}CD\)

Câu 2: Cho đường tròn tâm (O) các dây AB và CD bằng nhau. Các tia AB và CD cắt nhau tại  nằm bên ngoài đường tròn. Goij H, K lần lượt là trung điểm AB và CD. CMR:

a) EH=EK

b) EA=EC

Hướng dẫn giải

a) Ta có: vì H, K là trung điểm AB và CD nên OH, OK lần lượt vuông góc với AB và CD. 

Xét 2 tam giác vuông OHE và OKE có: Huyền OE chung; OH=OK ( dây AB=CD) nên \(\Delta OHE=\Delta OKE(ch-cgv)\Rightarrow EH=EK\)

b) \(EA=EH+HA; EC=EK+KC\) mà EH=EK (CM trên); \(HA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=KC\Rightarrow EA=EC\)

Câu 1: Cho tam giác ABC, O là giao của các đường trung trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, AC.\) Cho biết \(OD > OE, OE = OF\) (h.69).

Hãy so sánh các độ dài:

a) BC và AC

b) AB và AC

Hướng dẫn giải

Vì O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

a) Vì \(OE = OF \) suy ra \(AC=BC\) (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau)

b) Vì \(OD > OE\) nên \(AB < BC\) (dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn) mà \(AC=BC\) (câu a) nên \(AB

Câu 2: Cho (O;R) vẽ 2 dây cung AB và CD không qua tâm và vuông góc với nhau tại M. Đặt OM=d, I, K là trung điểm AB, CD

a) CM: \(AB^2+CD^2=4(2R^2-d^2)\)

b) CM: \(AC^2+BD^2=4R^2\)

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác KMIO có 3 góc vuông nên KMIO là hình chữ nhật suy ra: OK=MI

Khi đó: \(AB^2+CD^2=(2AI)^2+(2KD)^2=4(AI^2+KD^2)\)

\(=4(R^2-OI^2+R^2-OK^2)=4(2R^2-(OI^2+IM^2))=4(2R^2-d^2)\)

b) Gọi AE là đường kính của (O).Ta sẽ chứng minh tứ giác CEBD là hình thang cân

Đầu tiên: do tam giác ABE có AE là đường kính nên ABE vuông tại B hay \(EB\perp AB\Rightarrow EB\parallel CD\)

Gọi H là trung điểm EB nên \(KH\perp EB\) nên tứ giác CEBD là hình thang cân \(\Rightarrow BD=CE\)

\(AC^2+BD^2=AC^2+CE^2=AE^2=4R^2\)

Câu 1: Cho hình bên, trong đó MN = PQ. Chứng minh rằng:

a. AE = AF

b. AN = AQ

Câu 2: Cho đường tròn (O), dây AB và dây CD, AB < CD. Giao điểm K của các đường thẳng AB, CD nằm ngoài đường tròn. Đường tròn (O; OK) cắt KA và KC tại M và N. Chứng minh rằng KM < KN.

Câu 3: Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng dây AB vuông góc với IO tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I.

Câu 4: Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng:

a. OI là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB, CD.

b. Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một.

Câu 1: Cho đường tròn (O;25) và hai dây \(MN\parallel PQ\) có độ dài theo thứ tự là 40 và 48. Khi đó khoảng cách giữa MN và PQ là: 

A. 22

B. 8

C. 30

D. 22 hoặc 8

Câu 2: Cho đường tròn (O;10) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d, d', d" lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, BC, AC. Biết rằng d>d'>d". So sánh các góc trong tam giác

A. \(\widehat{A}<\widehat{B}<\widehat{C}\)

B. \(\widehat{B}<\widehat{C}<\widehat{A}\)

C. \(\widehat{B}<\widehat{A}<\widehat{C}\)

D. \(\widehat{C}<\widehat{A}<\widehat{B}\)

Câu 3: Cho đường tròn (O;25). Khi đó dây lớn nhất của đường tròn (O;25) có độ dài là

A. 12,5

B. 25

C. 50

D. 20

Câu 4: Cho đường tròn (O;R) 2 dây cung AB và CD. Biết rằng: \(\widehat{OAB}>\widehat{OCD}\) so sánh độ dài AB và CD

A. AB>CD

B. AB=CD

C. AB

D. Chưa đủ dữ kiện để kết luận

Câu 5: Cho đường tròn (O;R) có 2 dây AB và CD. Gọi d, d' lần lượt là khoảng cách từ O tới AB và CD. Biết d>d'. Khi đó so sánh 2 góc \(\widehat{AOB},\widehat{COD}\)

A. \(\widehat{AOB}>\widehat{COD}\)

B. \(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

C. \(\widehat{AOB}<\widehat{COD}\)

D. Chưa đủ dữ kiện để kết luận

Qua bài học này, các em nắm được một số nọi dung chính như sau:

• Nắm được các định lí về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây của một đường tròn.
• HS biết vận dụng các định lí trên để so sánh độ dài hai dây, so sánh các khoảng cách từ tâm đến dây và vận dụng vào giải bài tập.