Toán 9 Chương 4 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Đối với phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$, trong nhiều trường hợp nếu đặt $b=2b' (b\vdots 2)$ thì liệu việc tính toán có đơn giản hơn?

$b=2b' \Rightarrow \Delta =(2b')^2-4ac=4b'^2-4ac=4(b'^2-ac)$

Ta có: $\Delta '=b'^2-ac$

Từ đó, ta đi đến các kết luận sau đây:

Với các phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$ và $b=2b'$, $\Delta '=b'^2-ac$ thì:

Nếu $\Delta '>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_{1}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; x_{2}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}$

Nếu $\Delta '=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x=\frac{-b'}{a}$

Nếu $\Delta '<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Chúng ta sẽ cùng đi vài ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn: $3x^2+10x+5=0$

Hướng dẫn giải

$\Delta '=5^2-5.3=10>0\Rightarrow \sqrt{\Delta '}=\sqrt{10}$

Vậy $x_{1}=\frac{-5+\sqrt{10}}{3}; x_{2}=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$

Ví dụ 2: Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn: $5x^2-6\sqrt{2}x+1=0$

Hướng dẫn giải

$\Delta '=(3\sqrt{2})^2-5.1=13>0\Rightarrow \sqrt{\Delta '}=13$

Vậy $x_{1}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{13}}{5}; x_{2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{13}}{5}$

Câu 1: Giải phương trình $5{x^2} + 4x - 1 = 0$ bằng cách điền vào những chỗ trống:

$a = ...;\,b' = ...;c = ...$; $\Delta ' = ...;\,\sqrt {\Delta '}  = ...$

Nghiệm của phương trình ${x_1} = ...;\,{x_2} = ...$ 

Hướng dẫn giải

$a = 5;\,b' = 2;c =  - 1$;

$\Delta ' = {(b')^2} - ac = {2^2} - 5.\left( { - 1} \right) = 9;\,\sqrt {\Delta '}  = 3$

Nghiệm của phương trình ${x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{ - 2 + 3}}{5} = \dfrac{1}{5};\\{x_2}= \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{ - 2 - 3}}{5} =  - 1.$

Câu 2: Xác định $a, b’, c$ rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) $3x^2 + 8x + 4 = 0$

b) $7{x^2} - 6\sqrt 2 x + 2 = 0$

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình $3x^2 + 8x + 4 = 0$ có $a = 3; b' = 4; c = 4$

$\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {4^2} - 3.4 = 4 >0$$\Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = 2$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$\displaystyle {x_1} = {{ - 4 + 2} \over 3} = {{ - 2} \over 3};\,\,{x_2} = {{ - 4 - 2} \over 3} =  - 2$

b) Xét phương trình $7{x^2} - 6\sqrt 2 x + 2 = 0$ có $a = 7;\,\,b' =  - 3\sqrt 2 ;\,\,c = 2$

$\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( { - 3\sqrt 2 } \right)^2} - 7.2 = 4$

Suy ra $\sqrt {\Delta '}  = 2$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \dfrac{{3\sqrt 2  + 2}}{7};{x_2} = \dfrac{{3\sqrt 2  - 2}}{7}$

Câu 1: Tìm giá trị của tham số m để phương trình $x^2+2mx-m+4=0$ có nghiệm.

Hướng dẫn giải: Ta tính biệt thức $\Delta '$ của phương trình trên:

$\Delta '=m^2-m+4$

Để phương trình trên có nghiệm thì $\Delta '\geq 0\Leftrightarrow m^2-m+4=m^2-2.\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}+3,75> 0\forall m\epsilon \mathbb{R}$

Vậy, phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 2: Tìm giá trị của tham số m để phương trình $x^{2}-mx+m-1=0$ có đúng 1 nghiệm duy nhất

Hướng dẫn giải: Ta tính biệt thức $\Delta$ của phương trình trên:

$\Delta =(-m)^2-4m+4=m^2-4m+4=(m-2)^2$

Để phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow m=2$

Vậy với $m=2$ thì phương trình trên có nghiệm duy nhất.

Câu 1: Xác định a, b’, c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:

a) $5{x^2} - 6x - 1 = 0$

b) $- 3{x^2} + 14x - 8 = 0$

c) $- 7{x^2} + 4x = 3$

Câu 2: Với những giá trị nào của $x$ thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau:

a) ${x^2} + 2 + 2\sqrt 2$ và $2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x$

b) $\sqrt 3 {x^2} + 2x - 1$ và $2\sqrt 3 x + 3$

c) $- 2\sqrt 2 x - 1$ và $\sqrt 2 {x^2} + 2x + 3$

d) ${x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3$ và $2{x^2} + 2x + \sqrt 3$

Câu 3: Tính gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) $16{x^2} - 8x + 1 = 0$

b) $6{x^2} - 10x - 1 = 0$

c) $5{x^2} + 24x + 9 = 0$

d) $16{x^2} - 10x + 1 = 0$

Câu 4: Với giá trị nào của $x$ thì giá trị của hai hàm số bằng nhau:

a) $\displaystyle y = {1 \over 3}{x^2}$ và $y = 2x - 3$

b) $\displaystyle y =  - {1 \over 2}{x^2}$ và $y = x - 8$?

Câu 1: Cho phương trình tham số m: $x^2-mx+4=0$. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình trên vô nghiệm:

A. $-4<m<4$

B. $m<4$

C. $m=4$

D. $m>4$

Câu 2: Cho hàm số ẩn x tham số m $x^2-(2m+1)x+m^2+m-6=0$. Giá trị của m để hàm số có nghiệm là:

A. $m=5$ 

B. $m\geq 5$ 

C.  $m\epsilon \mathbb{R}$

D. $m\neq 5$

Câu 3: Không giải phương trình, số nghiệm của phương trình $x^2+4x-2017=0$ là:

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. vô nghiệm

D. vô số nghiệm

Câu 4: Cho phương trình ẩn x tham số m: $mx^2+2mx+m+2=0$. Với giá trị nào của m thì phương trình trên có nghiệm?

A. $m>0$

B. $m<0$

C.  $m\geq 0$

D. $m\leq 0$

Câu 5: Cho hàm số ẩn x tham số m $x^2-2(m+1)x+m^2-4m+5=0$. Giá trị của m để hàm số vô nghiệm là:

A. $m<\frac{2}{3}$

B. $m>\frac{2}{3}$

C. $m>\frac{3}{2}$

D. $m<\frac{3}{2}$

Qua bài học này giúp học sinh:

• Thấy được lợi ích của công thức nghiệm thu gọn.
• Xác định được b khi cần thiết và nhớ kĩ công thức
• Nhớ và vận dụng tốt công thức nghiệm thu gọn. Hơn nữa, biết sử dụng triệt để công thức này trong mọi trường hợp có thể để làm cho việc tính toán đơn giản hơn.