Toán 9 Chương 4 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Để giúp các em học thật tốt môn Toán 9, đội ngũ eLib đã biên soạn và tổng hợp nội dung bài Công thức nghiệm thu gọn. Tài liệu gồm các kiến thức trọng tâm cần nhớ và các bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết giúp các em vừa học tập vừa làm bài tập một cách hiệu quả. Mời các em cùng tham khảo!

Toán 9 Chương 4 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

1.Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức nghiệm thu gọn

Đối với phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\), trong nhiều trường hợp nếu đặt \(b=2b' (b\vdots 2)\) thì liệu việc tính toán có đơn giản hơn?

\(b=2b' \Rightarrow \Delta =(2b')^2-4ac=4b'^2-4ac=4(b'^2-ac)\)

Ta có: \(\Delta '=b'^2-ac\)

Từ đó, ta đi đến các kết luận sau đây:

Với các phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) và \(b=2b'\), \(\Delta '=b'^2-ac\) thì:

Nếu \(\Delta '>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_{1}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; x_{2}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\)

Nếu \(\Delta '=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{-b'}{a}\)

Nếu \(\Delta '<0\) thì phương trình vô nghiệm.

1.2. Áp dụng

Chúng ta sẽ cùng đi vài ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn: \(3x^2+10x+5=0\)

Hướng dẫn giải

\(\Delta '=5^2-5.3=10>0\Rightarrow \sqrt{\Delta '}=\sqrt{10}\)

Vậy \(x_{1}=\frac{-5+\sqrt{10}}{3}; x_{2}=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}\)

Ví dụ 2: Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn: \(5x^2-6\sqrt{2}x+1=0\)

Hướng dẫn giải

\(\Delta '=(3\sqrt{2})^2-5.1=13>0\Rightarrow \sqrt{\Delta '}=13\)

Vậy \(x_{1}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{13}}{5}; x_{2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{13}}{5}\)

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập cơ bản

Câu 1: Giải phương trình \(5{x^2} + 4x - 1 = 0\) bằng cách điền vào những chỗ trống:

\(a = ...;\,b' = ...;c = ...\); \(\Delta ' = ...;\,\sqrt {\Delta '}  = ...\)

Nghiệm của phương trình \({x_1} = ...;\,{x_2} = ...\) 

Hướng dẫn giải

\(a = 5;\,b' = 2;c =  - 1\);

\(\Delta ' = {(b')^2} - ac = {2^2} - 5.\left( { - 1} \right) = 9;\,\sqrt {\Delta '}  = 3\)

Nghiệm của phương trình \({x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{ - 2 + 3}}{5} = \dfrac{1}{5};\\{x_2}= \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{ - 2 - 3}}{5} =  - 1.\)

Câu 2: Xác định \(a, b’, c\) rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) \(3x^2 + 8x + 4 = 0\)

b) \(7{x^2} - 6\sqrt 2 x + 2 = 0\)

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình \(3x^2 + 8x + 4 = 0\) có \(a = 3; b' = 4; c = 4\)

\(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {4^2} - 3.4 = 4 >0\)\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = 2\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\(\displaystyle {x_1} = {{ - 4 + 2} \over 3} = {{ - 2} \over 3};\,\,{x_2} = {{ - 4 - 2} \over 3} =  - 2\)

b) Xét phương trình \(7{x^2} - 6\sqrt 2 x + 2 = 0\) có \(a = 7;\,\,b' =  - 3\sqrt 2 ;\,\,c = 2\)

\(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( { - 3\sqrt 2 } \right)^2} - 7.2 = 4\)

Suy ra \(\sqrt {\Delta '}  = 2\)

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{{3\sqrt 2  + 2}}{7};{x_2} = \dfrac{{3\sqrt 2  - 2}}{7}\)

2.2. Bài tập nâng cao

Câu 1: Tìm giá trị của tham số m để phương trình \(x^2+2mx-m+4=0\) có nghiệm.

Hướng dẫn giải: Ta tính biệt thức \(\Delta '\) của phương trình trên:

\(\Delta '=m^2-m+4\)

Để phương trình trên có nghiệm thì \(\Delta '\geq 0\Leftrightarrow m^2-m+4=m^2-2.\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}+3,75> 0\forall m\epsilon \mathbb{R}\)

Vậy, phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 2: Tìm giá trị của tham số m để phương trình \(x^{2}-mx+m-1=0\) có đúng 1 nghiệm duy nhất

Hướng dẫn giải: Ta tính biệt thức \(\Delta\) của phương trình trên:

\(\Delta =(-m)^2-4m+4=m^2-4m+4=(m-2)^2\)

Để phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow m=2\)

Vậy với \(m=2\) thì phương trình trên có nghiệm duy nhất.

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Xác định a, b’, c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:

a) \(5{x^2} - 6x - 1 = 0\)

b) \( - 3{x^2} + 14x - 8 = 0\)

c) \(- 7{x^2} + 4x = 3\)

Câu 2: Với những giá trị nào của \(x\) thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau:

a) \({x^2} + 2 + 2\sqrt 2 \) và \(2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x\)

b) \(\sqrt 3 {x^2} + 2x - 1\) và \(2\sqrt 3 x + 3\)

c) \( - 2\sqrt 2 x - 1\) và \(\sqrt 2 {x^2} + 2x + 3\)

d) \({x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3 \) và \(2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \)

Câu 3: Tính gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) \(16{x^2} - 8x + 1 = 0\)

b) \(6{x^2} - 10x - 1 = 0\)

c) \(5{x^2} + 24x + 9 = 0\)

d) \(16{x^2} - 10x + 1 = 0\)

Câu 4: Với giá trị nào của \(x\) thì giá trị của hai hàm số bằng nhau:

a) \(\displaystyle y = {1 \over 3}{x^2}\) và \(y = 2x - 3\)

b) \(\displaystyle y =  - {1 \over 2}{x^2}\) và \(y = x - 8\)?

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho phương trình tham số m: \(x^2-mx+4=0\). Với giá trị nào của tham số m thì phương trình trên vô nghiệm:

A. \(-4<m<4\)

B. \(m<4\)

C. \(m=4\)

D. \(m>4\)

Câu 2: Cho hàm số ẩn x tham số m \(x^2-(2m+1)x+m^2+m-6=0\). Giá trị của m để hàm số có nghiệm là:

A. \(m=5\) 

B. \(m\geq 5\) 

C.  \(m\epsilon \mathbb{R}\)

D. \(m\neq 5\)

Câu 3: Không giải phương trình, số nghiệm của phương trình \(x^2+4x-2017=0\) là:

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. vô nghiệm

D. vô số nghiệm

Câu 4: Cho phương trình ẩn x tham số m: \(mx^2+2mx+m+2=0\). Với giá trị nào của m thì phương trình trên có nghiệm?

A. \(m>0\)

B. \(m<0\)

C.  \(m\geq 0\)

D. \(m\leq 0\)

Câu 5: Cho hàm số ẩn x tham số m \(x^2-2(m+1)x+m^2-4m+5=0\). Giá trị của m để hàm số vô nghiệm là:

A. \(m<\frac{2}{3}\)

B. \(m>\frac{2}{3}\)

C. \(m>\frac{3}{2}\)

D. \(m<\frac{3}{2}\)

4. Kết luận

Qua bài học này giúp học sinh:

  • Thấy được lợi ích của công thức nghiệm thu gọn.
  • Xác định được b khi cần thiết và nhớ kĩ công thức
  • Nhớ và vận dụng tốt công thức nghiệm thu gọn. Hơn nữa, biết sử dụng triệt để công thức này trong mọi trường hợp có thể để làm cho việc tính toán đơn giản hơn.
Ngày:05/08/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM