Toán 9 Chương 4 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Định nghĩa

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\)

Đây không phải là phương trình bậc hai, nhưng ta có thể đưa về dạng phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Cụ thể là: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\) lúc đó phương trình trở thành \(at^2+bt+c=0\), chúng ta tiến hành giải phương trình bậc hai rồi so điều kiện, trả về ẩn x của bài toán ban đầu.

Các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đã học ở lớp 8

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
• Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu
• Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được 
• Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm

Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới:

Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc.....

Câu 1: Giải các phương trình trùng phương:

a) \(4x^4 + x^2– 5 = 0\)

b) \(3x^4 + 4x^2 + 1 = 0\)

Hướng dẫn giải

a) \(4x^4 + x^2– 5 = 0\)

Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\). 

Phương trình trở thành \(4t^2 + t – 5 = 0\)

Nhận thấy đây là phương trình bậc hai ẩn \(t\) có \(a + b + c = 4+1-5=0\) nên phương trình có nghiệm

\(\displaystyle {t_1} = 1;\,\,{t_2} = {{ - 5} \over 4}\)

Do \(t \ge 0\)  nên chỉ có \(t = 1\) thỏa mãn điều kiện

Với \(t = 1\), ta có: \({x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm \(x_1 = 1; x_2 = -1\) 

b) \(3x^4 + 4x^2 + 1 = 0.\)

Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\).

Phương trình trở thành: \(3t^2 + 4t + 1 = 0\)

Nhận thấy đây là phương trình bậc hai ẩn \(t\) có \(a - b + c =3-4+1= 0\) nên phương trình có nghiệm

\(\displaystyle {t_1} =  - 1;\,\,{t_2} = {{ - 1} \over 3}\)

Cả 2 nghiệm của phương trình đều không thỏa mãn điều kiện \(t \ge 0\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 

Câu 2: Giải phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 3x + 6}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\)  bằng cách điền vào các chỗ trống \(\left( {...} \right)\) và trả lời các câu hỏi.

- Điều kiện: \(x \ne ...\)

- Khử mẫu và biến đổi, ta được \({x^2} - 3x + 6 = ... \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0.\)

- Nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\) là \({x_1} = ...;{x_2} = ....\)

Hỏi \({x_1}\) có thỏa mãn điều kiện nói trên không? Tương tự đối với \({x_2}?\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:…

Hướng dẫn giải

- Điều kiện: \(x \ne  \pm 3\) 

- Khử mẫu và biến đổi, ta được \({x^2} - 3x + 6 = x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0.\)

- Nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\) là \({x_1} = 1;{x_2} = 3\)

Nhận thấy \({x_1} = 1\) thỏa mãn điều kiện;  \({x_2} = 3\) không thỏa mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = 1\). 

Câu 1: Giải phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích: \({x^3} + 3{x^2} + 2x = 0\)

Hướng dẫn giải

Ta có \({x^3} + 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \({x^2} + 3{x} + 2 = 0\)   (1)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai có \(a-b+c=1-3+2=0\) nên có hai nghiệm  \(x = -1; x = -\dfrac{c}{a}=-2\)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm \(x = 0; x = -1; x = -2\) 

Câu 2: Giải phương trình \(2x+\sqrt{x}=8-11\sqrt{x}\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện:\(x\geq 0\)

Khi đó, ta đặt \(t=\sqrt{x}(t\geq 0)\)

Phương trình trở thành: \(2t^2+t=8-11t\Leftrightarrow 2t^2+12t-8=0\Leftrightarrow t^2+6t-4=0\)

Giải phương trình bậc hai ẩn t, ta được:

\(t=-3+\sqrt{13}\) (nhận)\(\Rightarrow x=(-3+\sqrt{13})^2=22-6\sqrt{13}\)

\(t=-3-\sqrt{13}\) (loại)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=22-6\sqrt{13}\)

Câu 1: Giải các phương trình:

a) \({\left( {x + 2} \right)^2} - 3x - 5 = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)\)

b) \({\left( {x - 1} \right)^3} + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1\)

c) \(x\left( {{x^2} - 6} \right) - {\left( {x - 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3}\)

d) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} \)\(\,+ \left( {x + 7} \right)\left( {x - 7} \right) = 12x - 23\)

Câu 2: Giải các phương trình:

a) \(\displaystyle {{12} \over {x - 1}} - {8 \over {x + 1}} = 1\)

b) \(\displaystyle {{16} \over {x - 3}} + {{30} \over {1 - x}} = 3\)

c) \(\displaystyle {{{x^2} - 3x + 5} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x - 3}}\)

d) \(\displaystyle {{2x} \over {x - 2}} - {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)

Câu 3: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) \(3{x^3} + 6{x^2} - 4x = 0\)

b) \({\left( {x + 1} \right)^3} - x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)

c) \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = {\left( {4x - 1} \right)^2}\)

d) \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} = 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\)

Câu 4: Giải các phương trình trùng phương:

a) \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\)

b) \({y^4} - 1,16{y^2} + 0,16 = 0\)

c) \({z^4} - 7{z^2} - 144 = 0\)

d) \(36{t^4} - 13{t^2} + 1 = 0\)

Câu 1: Nghiệm của phương trình \(x^4+5x^2-6=0\) là:

A. -2

B. 3

C. 2 hoặc -3

D. PT vô nghiệm

Câu 2: Nghiệm của phương trình \(\frac{14}{x^2-9}=1-\frac{1}{3-x}\) là:

A. \(x=5;x=-4\)

B. \(x=5;x=4\)

C. \(x=-5;x=4\)

D. \(x=-5;x=-4\)

Câu 3: Phương trình trùng phương \(ax^4+bx^2+c=0(a\neq 0)\) có tối đa mấy nghiệm thực:

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Câu 4: Cho phương trình \(x^3+x^2\sqrt{3}-x\sqrt{5}=0\).Tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng:

A. \(-\sqrt{3}\)

B. \(0\)

C. \(\sqrt{3}\)

D. \(\sqrt{6}\)

Câu 5: Gọi \(x_1; x_2\) là nghiệm của phương trình \(2017x^2-2016x-2018=0\)

Không giải phương trình, hãy tính \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)

A. \(\frac{-2016}{2018}\)

B. \(\frac{-2017}{2018}\)

C. \(\frac{-2017}{2016}\)

D. \(\frac{-2018}{2016}\)

Qua bài học này, học sinh cần:

• Giải được một số dạng phương trình được quy về phương trình bậc hai như: Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, một vài phương trình bậc cao có thể đưa về phương trình tích hoặc giải được nhờ ẩn phụ, phương trình trùng phương.
•  Lưu ý khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu phải tìm điều kiện của ẩn và khi tìm được giá trị của ẩn thì phải kiểm tra xem giá trị đó có thỏa mãn điều kiện không rồi mới kết luận nghiệm.
• Có kỹ năng giải tốt phương trình tích và có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.