Toán 9 Chương 3 Bài 3: Góc nội tiếp

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Góc $\widehat{BAC}$ được gọi là góc nội tiếp, cung bị chắn là cung $BC$

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Trong một đường tròn:

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Câu 1: Dựa vào hình vẽ, hãy tính số đo cung $BD$ nhỏ

Hướng dẫn giải

$\bigtriangleup OAD$ cân tại $O$ nên $\widehat{OAD}=\frac{180^0-150^0}{2}=15^0$, suy ra $\widehat{BAD}=30^0+15^0=45^0$

Mà $\widehat{BAD}$ là góc nội tiếp nên sđ$\stackrel\frown{BD}=2.\widehat{BAD}=2.45^0=90^0$

Câu 2: Tính $\widehat{MON}$ biết số đo cung nhỏ XY của đường tròn tâm B là 700

Hướng dẫn giải

Trong đường tròn $(B)$ ta có sđ$\stackrel\frown{XY}=70^0\Rightarrow \widehat{XBY}=70^0$

Trong đường tròn $(O)$ thì $\widehat{MON}=2.\widehat{MBN}=2.70^0=140^0$

Câu 3: Cho đường tròn $(O)$ và dây $AB$. Vẽ $OH\perp AB(H\in AB)$, $OH$ cắt cung nhỏ $AB$ tại $N$. Biết rằng $HN=5,AB=10\sqrt{5}$. Tính bán kính của đường tròn $(O)$

Hướng dẫn giải

Vẽ đường kính $NOM$. Dễ chứng minh $H$ là trung điểm của $AB$ nên $AH=\frac{1}{2}.AB=\frac{1}{2}.10\sqrt{5}=5\sqrt{5}$

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông MAN với đường cao AH ta có $MH.HN=AH^2\Rightarrow MH=\frac{AH^2}{NH}=\frac{(5\sqrt{5})^2}{5}=25$

Khi đó $MN=MH+HN=25+5=30$

Bán kính của đường tròn $(O)$ là $ON=\frac{MN}{2}=15$

Câu 1: Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $BC$ cố định. Điểm $A$ di động trên đường tròn khác $B$ và $C$. Vẽ đường kính $AOD$. Xác định vị trí điểm $A$ để diện tích $\bigtriangleup ABC$ đạt giá trị lớn nhất, khi đó $\widehat{ADC}=?$

Hướng dẫn giải

Vẽ đường cao $AH$ của $\bigtriangleup ABC$.

$\bigtriangleup AHO$ vuông tại $H$ nên $AH\leq AO$ (dấu bằng xảy ra khi $H\equiv O$)

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC\leq \frac{1}{2}.AO.BC=\frac{1}{2}R.2R=R^2$(dấu bằng xảy ra khi $H\equiv O$)

Vậy diện tính tam giác $ABC$ đạt giá trị lớn nhất khi $H\equiv O$, khi đó $A$ là điểm chính giữa $\stackrel\frown{BC}$

Suy ra $\widehat{ADC}=45^0$

Câu 2: Cho nửa đường tròn đường kính $AB=2cm$, dây $CD//AB (C\in\stackrel\frown{AD})$. Tính độ dài các cạnh của hình thang $ABCD$ biết chu vi hình thang bằng $5cm$

Hướng dẫn giải

Ta có $CD//AB\Rightarrow \stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{BD}\Rightarrow AC=BD$. Dễ chứng minh $ABDC$ là hình thang cân (vì $\widehat{CAB}=\widehat{DBA}$)

Đặt $AC=BD=x$ $(x>0)$, chu vi hình thang bằng $5cm$ nên $AB+BD+CD+AC=5\Rightarrow CD=3-2x$

Kẻ $DN,CM$ vuông góc với $AB$. Ta có $NB=MA=\frac{AB-CD}{2}=\frac{2-(3-2x)}{2}=\frac{2x-1}{2}$

$\bigtriangleup DAB$ vuông tại $D$ có $DN\perp AB$ nên $BD^2=BN.BA\Rightarrow x^2=\frac{2x-1}{2}.2\Rightarrow x^2-2x-1=0\Rightarrow x=1$

Vậy $AC=BD=1cm$ , do đó $CD=3-2x=1 (cm)$

Câu 1: Cho đường tròn tâm O,bán kính 1,5cm.Hãy vẽ hình vuông ABCD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. Nêu cách vẽ

Câu 2: Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn .Qua M vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn ở A và B.Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi

Câu 3: Để giúp xe lửa chuyển từ một đường ray hướng này sang mộtđường ray hướng khác người ta làm xen giữa một đoạn đường ray hìnhvòng cung (hình bên) .Biết chiều rộng của đường ray là AB ≈1,1m ,đoạn BC ≈ 28,4m.Hãy tính bán kính OA= R của đoạn đường ray hình vòng cung

Câu 4: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm của cung nhỏ BC.Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB

a. Hỏi tam giác MBD là tam giác gì?

b. So sánh hai tam giác BDA và BMC

c. Chứng minh rằng MA =MB + MC

Câu 1: Chỉ ra khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

B. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

C. Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

D. Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Câu 2: Cho đường tròn (O) có đường kính AB bằng 12cm. Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) ở M và cắt tiếp tuyến của đường tròn tại B ở N. Gọi I là trung điểm của MN. Biết rằng AI=13cm, số đo đoạn thẳng AM là:

A. 10cm

B. 6cm

C. 8cm

D. 12cm

Câu 3: Dựa vào hình sau, biết AB,CD là hai dây của đường tròn (O), M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Khẳng định nào sau đây là sai:

A. $\widehat{ADM}=\widehat{BDM}$

B. $\widehat{BCM}=\widehat{ABM}$

C. $AM=BM$

D. Nếu M là điểm chính giữa cung lớn CD thì $\widehat{MDC}=\widehat{DCB}$

Câu 4: Dựa vào hình vẽ sau, biết rằng $\widehat{AOB}=130^0,\widehat{ADO}=40^0$ và sđ$\stackrel\frown{CD} =30^0$. Số đo góc BAC là:

A. 50⁰

B. 60⁰

C. 70⁰

D. 80⁰

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nhận biết được những góc nội tiếp trên một đường tròn và phát biểu được định nghĩa về góc nội tiếp.
• Phát biểu và chứng minh được định lí về số đo góc nội tiếp.
• Nhận biết bằng trực quan và chứng minh được các hệ quả của định lí trên.
• Phân loại được các trường hợp của góc nội tiếp.