Toán 9 Chương 3 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hay tứ giác nội tiếp)

Chẳng hạn, tứ giác $ABCD$ có bốn đỉnh $A,B,C,D$ cùng nằm trên một đường tròn nên $ABCD$ được gọi là tứ giác nội tiếp.

$ABCD$ là tứ giác nội tiếp nên ta có $\widehat{A}+\widehat{C}=\widehat{B}+\widehat{D}=180^0$

Cụ thể ở hình trên, nếu có $\widehat{A}+\widehat{C}=180^0$ hoặc $\widehat{B}+\widehat{D}=180^0$ thì tứ giác $ABCD$ nội tiếp được đường tròn.

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$. 

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó.

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà có thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc $\alpha$.

Câu 1: 

a) Vẽ một đường tròn tâm O rồi vẽ một tứ giác có tất cả các đỉnh nằm trên đường tròn đó.

b) Vẽ một đường tròn tâm I rồi vẽ một tứ giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn đó còn đỉnh thức tư thì không.

Hướng dẫn giải

Câu 2: Tính số đo các góc của tứ giác $ABCD$, biết rằng $\widehat{DCx}=130^0$

Hướng dẫn giải

Ta có $\widehat{DCB}=180^0-\widehat{DCx}=180^0-130^0=50^0$, suy ra $\widehat{DAB}=180^0-\widehat{DCB}=180^0-50^0=130^0$

Lại có $\widehat{DCx}$ là góc ngoài của $\bigtriangleup ECB$ nên $\widehat{DCx}=\widehat{E}+\widehat{B}\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{DCx}-\widehat{E}=130^0-30^0=100^0$

Từ đó suy ra $\widehat{ADC}=180^0-\widehat{ABC}=180^0-100^0=80^0$

Câu 1: Xem hình 45. Hãy chứng minh định lý trên.

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn $(O)$ ta có:

$\widehat {BAD} = \dfrac{1}{2}sđ\,\overparen {BCD}$ (góc nội tiếp chắn cung $BCD$)

$\widehat {BCD} = \dfrac{1}{2}sđ\,\overparen {BAD}$ (góc nội tiếp chắn cung $BAD$)

Suy ra $\widehat {BAD} + \widehat {BCD} = \dfrac{1}{2}sđ\,\overparen {BCD} + \dfrac{1}{2}sđ\,\overparen {BAD} = \dfrac{{sđ\,\overparen {BAD} + sđ\,\overparen {BCD}}}{2}$ $= \dfrac{{360^\circ }}{2} = 180^\circ .$

Vậy $\widehat {BAD} + \widehat {BCD} = 180^\circ$ .

Vậy trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180^0$.

Câu 2: Cho tam giác $ABC$ vuông tại \(A,(AB

a) $CI$ là phân giác của $\widehat{BCD}$

b) $DA$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\widehat{IDC}=90^0$ (góc nội tiếp chắn đường kính)

Nên $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90^0$ suy ra tứ giác $ABCD$ nội tiếp 

do đó $\widehat{ACD}=\widehat{ABD}$ mà theo đề bài $\widehat{ABD}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACD}=\widehat{ACB}$ hay $CI$ là phân giác của $\widehat{BCD}$ (đpcm)

b) Tứ giác $ABCD$ nội tiếp nên $\widehat{ADB}=\widehat{ACB}$ mà $\widehat{ACD}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ADB}=\widehat{ACD}$

Từ đó suy ra $DA$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Câu 1: Trên đường tròn tâm $O$ có một cung $AB$ và $S$ là điểm chính giữa của cung đó. Trên dây $AB$ lấy hai điểm $E$ và $H.$ Các đường thẳng $SH$ và $SE$ cắt đường tròn theo thứ tự tại $C$ và $D.$ Chứng minh $EHCD$ là một tứ giác nội tiếp.

Câu 2: Cho tam giác $ABC.$ Các đường phân giác trong của $\widehat B$ và $\widehat C$ cắt nhau tại $S,$ các đường phân giác ngoài của $\widehat B$ và $\widehat C$ cắt nhau tại $E.$ Chứng minh $BSCE$ là một tứ giác nội tiếp.

Câu 3: Cho tam giác cân $ABC$ có đáy $BC$ và $\widehat A = {20^0}$. Trên nửa mặt phẳng bờ $AB$ không chứa điểm $C$ lấy điểm $D$ sao cho $DA = DB$ và $\widehat {DAB} = {40^0}$. Gọi $E$ là giao điểm của $AB$ và $CD.$

$a)$ Chứng minh $ACBD$ là tứ giác nội tiếp

$b)$ Tính $\widehat {AED}$

Câu 4: Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm $P.$ Gọi các giao điểm khác $P$ của hai trong ba đường tròn đó là $A, B, C.$ Từ một điểm $D$ (khác điểm $P$) trên đường tròn $(PBC)$ kẻ các tia $DB, DC$ cắt các đường tròn $(PAB)$ và $(PAC)$ lần lượt tại $M, N.$ Chứng minh ba điểm $M, A, N$ thẳng hàng.