Toán 9 Chương 1 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Để rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng thích hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

Chứng minh đẳng thức \((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})=2\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải

Ở bài toán này, ta có thể dùng phương pháp nhân từng thừa số vào rồi cộng các kết quả lại với nhau.

Tuy nhiên, ta có thể quan sát và vận dụng theo cách sau:

\((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\)

\(=(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2\)

\(=1+2\sqrt{2}+2-3=2\sqrt{2}\)

Rút gọn biểu thức \(\frac{x^2-3}{x+\sqrt{3}}; x\neq -\sqrt{3}\)

Hướng dẫn giải

\(\frac{x^2-3}{x+\sqrt{3}}=\frac{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{x+\sqrt{3}}=x-\sqrt{3}\)

Câu 1: Rút gọn biểu thức: \(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}\)

Hướng dẫn giải

 \(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}\)

\(=\sqrt{\frac{5^2}{5}}+\sqrt{\frac{20}{2^2}}+\sqrt{5}\)

\(=3\sqrt{5}\)

Câu 2: Rút gọn biểu thức: \(0,1\sqrt{200}+2\sqrt{0,08}+0,4\sqrt{50}\)

Hướng dẫn giải

\(0,1\sqrt{200}+2\sqrt{0,08}+0,4\sqrt{50}\)

\(=0,1\sqrt{10^2.2}+\sqrt{2.}\sqrt{0,16}+0,4\sqrt{5^2.2}\)

\(=\sqrt{2}+0,4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=0,4\sqrt{2}+3\sqrt{2}\)

\(=3,4.\sqrt{2}\)

Câu 3: Chứng minh đẳng thức: \(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)

Hướng dẫn giải

 \(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}\)

\(=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{9}{\sqrt{6}}+\frac{4}{\sqrt{6}}-\frac{12}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)

Câu 1: Rút gọn biểu thức \(A=\frac{2x}{x+3}-\frac{x+1}{3-x}-\frac{3-11x}{x^2-9} ; x\not\equiv \pm 3\)

Hướng dẫn giải

 \(A=\frac{2x}{x+3}-\frac{x+1}{3-x}-\frac{3-11x}{x^2-9}\)

\(=\frac{2x(x-3)}{(x+3)(x-3)}+\frac{(x+1)(x+3)}{(x+3)(x-3)}-\frac{3-11x}{(x+3)(x-3)}\)

\(=\frac{2x^2-6x+x^2+4x+3-3+11x}{(x+3)(x-3)}\)\(=\frac{3x^2+9x}{(x+3)(x-3)}=\frac{3x}{x-3}\)

Câu 2: Cho biểu thức 

\(A=\left ( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right ):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1} ; a>0,a\neq 1\)

\(B=1\)

Hãy so sánh A và B

Hướng dẫn giải

 Ta có: \(A=\left ( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right ):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\)

\(=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}.\frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{a}+1}\)

\(=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}=1-\frac{1}{\sqrt{a}}\)

Vì \(a>0\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a}}>0\Rightarrow\)\(1-\frac{1}{\sqrt{a}}<1\Rightarrow A\)

Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 - 1}} + \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 + 1}}\)                

b) \(\frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 + 1}}\)

Câu 2: Rút gọn biểu thức sau: 

a) \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } \)                

b) \(\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } \)

Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau:

\(P = \frac{{2\sqrt x  - 9}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{3 - \sqrt x }}\)

Câu 4: Cho biểu thức:

\(A = \frac{{15\sqrt x  - 11}}{{x + 2\sqrt x  - 3}} + \frac{{3\sqrt x  - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x  + 3}}{{3 + \sqrt x }}\)

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của x khi \(A = \dfrac{1}{2}.\)

Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai?

A. \(4\sqrt {16{\rm{a}}}  - 3\sqrt {25{\rm{a}}}  + \sqrt {81{\rm{a}}}  = 10\sqrt a \,\,\left( {a > 0} \right)\)        

B. \(\frac{4}{3}\sqrt 6  + 3\sqrt {\frac{2}{3}}  - 5\sqrt {\frac{3}{2}}  =  - \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)

C.  \(\sqrt {\frac{1}{2}}  + \sqrt {4,5}  + \sqrt {12,5}  = \frac{{9\sqrt 2 }}{2}\)       

D. Cả 3 đáp án trên đều đúng

Câu 2: Khẳng định nào sau đây là sai?

A.\(\frac{1}{2}\sqrt {48}  - 2\sqrt {147}  - \frac{{\sqrt {45} }}{{4\sqrt {15} }} = \frac{{119\sqrt 3 }}{4}\)         

B. \(\sqrt {2,5} .\sqrt {70}  + \sqrt {700}  - 5\sqrt {\frac{1}{7}}  = \frac{{100\sqrt 7 }}{7}\)

C.  \({\left( {\sqrt 6  + \sqrt 5 } \right)^2} - \sqrt {120}  = 11\)       

D. \(\left( {\sqrt {28}  - 2\sqrt 3  + \sqrt 7 } \right)\sqrt 7  + \sqrt {84}  = 21\)

Câu 3: Rút gọn \(Q = \left( {\frac{{1 - x\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} + \sqrt x } \right){\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 - x}}} \right)^2},x > 0,x \ne 1\)

A. \(Q = \sqrt x \)        

B. \(Q =  - \sqrt x \)

C. Q=1        

D. Q=-1

Câu 4: Cho biểu thức \(D=\left ( 1+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right )\left ( 1-\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right )\) với \(x\geq 0;x\neq 1\)

Giá trị của x để D là ước nguyên dương của 2 là:

A.  0               

B. \(0;-1\)

C. \(0;2\)        

D. \(1;2\)

Câu 5: Cho biểu thức \(E=\left ( \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right )\left ( \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right )\) với \(x\geq 0; x\neq 1\)

Định giá trị của x để biểu thức E dương.

A. \(x>1\)        

B. \(x\epsilon (0;1)\)

C.  \(x=0\)       

D. không tồn tại x

Qua bài học này, các em cần đạt được những mục tiêu sau:

• Biết cách rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.
• Làm được các bài Toán liên quan.