Toán 9 Chương 1 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn, hay biểu thức dưới dấu căn.

$\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi A có giá trị không âm.

Định lý: Với mọi số thực a, ta có $\sqrt{a^2}=|a|$

Lưu ý: Một cách tổng quát, với A là một biểu thức, ta có $\sqrt{A^2}=|A|$, nghĩa là

$\sqrt{A^2}=A$ nếu A không âm

$\sqrt{A^2}=-A$ nếu A âm.

Với giá trị nào của a thì biểu thức sau có nghĩa: $\sqrt{\frac{a}{4}}$ ; $\sqrt{4a-9}$

Hướng dẫn giải

Để biểu thức $\sqrt{\frac{a}{4}}$ có nghĩa thì $\frac{a}{4}\geq 0$ $\Leftrightarrow a\geq 0$

Tương tự, $\sqrt{4a-9}$ có nghĩa thì $4a-9> 0\Leftrightarrow a\geq \frac{9}{4}$

Câu 1: Rút gọn biểu thức: $\sqrt{(3-\sqrt{11})^2}$ ; $3\sqrt{(a-2)^2}$ với $a<2$

Hướng dẫn giải

$\sqrt {{{(3 - \sqrt {11} )}^2}}  = |3 - \sqrt {11} |$

$= \sqrt {11}  - 3$

Vì $\sqrt{11}>3$

$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|=2-a$ 

vì $a<2$

Vậy $3\sqrt{(a-2)^2}=6-3a$

Câu 2: Tìm x biết: $\sqrt{x^2}=|-7|$; $\sqrt{9x^2}=|-12|$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt {{x^2}}  = | - 7| = 7}\\ { \Leftrightarrow {x^2} = 49 \Leftrightarrow x =  \pm 7} \end{array}$

$\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} \sqrt {9{x^2}}  = | - 12| = 12\\  \Leftrightarrow 9{x^2} = 144 \end{array}\\ { \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow x =  \pm 4} \end{array}$

Câu 3: Giải phương trình: $x^2-2\sqrt{11}x+11=0$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} {x^2} - 2\sqrt {11} x + 11 = 0\\  \Leftrightarrow {x^2} - 2.x.\sqrt {11}  + {(\sqrt {11} )^2} = 0\\  \Leftrightarrow {(x - \sqrt {11} )^2} = 0 \end{array}$
Vậy $x=\sqrt{11}$

Câu 4: Chứng minh rằng: $\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=-1$

Hướng dẫn giải

Nhận thấy 

$\begin{array}{l} 4 - 2\sqrt 3 \\  = {1^2} - 2.1.\sqrt 3  + {(\sqrt 3 )^2}\\  = {(1 - \sqrt 3 )^2} \end{array}$
Vậy $\sqrt{4-2\sqrt{3}}=|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$ (vì $\sqrt{3}>1$)

Biến đổi VT, ta có 

$\begin{array}{l} \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  - \sqrt 3 \\  = \sqrt 3  - 1 - \sqrt 3 \\  =  - 1 = VP\\  \Rightarrow dpcm \end{array}$

Câu 1: Với giá trị nào của a thì biểu thức sau có nghĩa: $\sqrt {\frac{x}{3}} ;\sqrt {3x - 8}$

Câu 2: Rút gọn biểu thức: $\sqrt {{{(4 - \sqrt {11} )}^2}} ;5\sqrt {{{(a - 4)}^2}} \,\,và \,\,a < 4$

Câu 3: Tìm x biết: $\sqrt {{x^2}} = | - 6|;\sqrt {9{x^2}} = | - 3|$

Câu 4: Giải phương trình: ${x^2} - 2\sqrt 7 x + 7 = 0$

Câu 5: Chứng minh rằng: $\sqrt {7 - 2\sqrt 6 } - \sqrt 6 = - 1$

Câu 1. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\sqrt {3{\rm{x}}}$ xác định $\Leftrightarrow x \ge 0$                   

B. $\sqrt {{\rm{ - 9x}}}$ xác định $\Leftrightarrow x \ge 0$          

C. $\sqrt {\frac{{x - 5}}{3}}$ xác định $\Leftrightarrow x \ge 5$                    

D. $\sqrt {\frac{{ - 4}}{{x - 9}}}$ xác định khi  x > 9 

Câu 2. Điều kiện xác định của $\sqrt {\frac{{{a^2} + 1}}{{{a^3}}}}$ là: 

A. $a \ge 0$                    B.  $a \le 0$         

C. a>o                    D. a<-1  

Câu 3. Điều kiện xác định của $\sqrt {{x^2} + x - 6}$ là 

A. $x \le 2$                  

 B. $x \ge  - 3$          

C. $x \le  - 3;x \ge 2$                    

D. $- 3 \le x \le 2$ 

Câu 4. Giải phương trình: $x^2=64$, giá trị x nhận được là: 

A. 8                   

B. -8          

C. $2\sqrt{2}$                    

D. $\pm 8$ 

Câu 5. Điều kiện của x để biểu thức $\sqrt{-3x-6}$ có nghĩa là:

A. $x\leq -2$                   

B. $x\geq -2$          

C. $x>-2$                    

D. $x<-2$ 

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Khái niệm căn thức bậc hai.
• Vận dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$ để làm các bài tập liên quan.