Toán 9 Chương 4 Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

\(a{x^2} + bx + c=0\)

Trong đó \(x\) là ẩn số; \(a, b, c\) là những số cho trước gọi là các hệ số và \(a ≠ 0\).

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c=0\) với \( a\ne 0\)

* Trường hợp \(c = 0\), phương trình có dạng \(a{x^2} + bx =0\) ⇔ \(x(ax + b) = 0\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0,{x_2} =  - \displaystyle{b \over a}\).

* Trường hợp \(b = 0\), phương trình có dạng \(a{x^2} + c=0\) \(⇔ {x^2}\) =\(-\dfrac{c}{a}\)

Nếu \(a, c\) cùng dấu \(-\dfrac{c}{a}\) \(< 0\) phương trình vô nghiệm.

Nếu \(a, c\) trái dấu \(-\dfrac{c}{a}\) \(> 0\) phương trình có hai nghiệm \({x_1} = -\sqrt{-\dfrac{c}{a}},{x_2} =  \sqrt{-\dfrac{c}{a}}\).

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai ? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình ấy:

a) \(x^2 – 4 = 0\)

b) \(x^3+ 4x^2 – 2 = 0\)

c) \(2x^2 + 5x = 5\)

d) \(4x – 5 = 0\)

e) \(-3x^2= 0\)

Hướng dẫn giải

a) \(x^2 – 4 = 0\) đây là phương trình bậc hai có \(a = 1; b = 0; c = - 4\)

b) \(x^3+ 4x^2 – 2 = 0\) đây không là phương trình bậc hai

c) \(2x^2 + 5x = 5\) đây là phương trình bậc hai có \(a = 2; b = 5; c = - 5\)

d) \(4x – 5 = 0\)  đây không là phương trình bậc hai

e) \(-3x^2= 0\) đây là phương trình bậc hai có \(a = -3; b = 0; c = 0\)

Câu 2: Giải phương trình \(2x^2 + 5x = 0\) bằng cách đặt nhân tử chung để đưa nó về phương trình tích.

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\eqalign{& 2{x^2} + 5x = 0 \Leftrightarrow x\left( {2x + 5} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr 2x + 5 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr x =\dfrac{-5}{2} \hfill \cr}  \right. \cr} \) 

Vậy phương trình có hai nghiệm

\({x_1} = 0;\,\,{x_2} = \displaystyle {{ - 5} \over 2}\) 

Câu 3: Giải phương trình \(3{x^2} - 2 = 0\)

Hướng dẫn giải

Ta có \(3{x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{2}{3} \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {\dfrac{2}{3}} \\x =  - \sqrt {\dfrac{2}{3}} \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\\x =  - \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3};x =  - \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.\) 

Câu 1: Giải phương trình \({x^2} - 4x =  - \dfrac{1}{2}\).

Hướng dẫn giải

Cộng hai vế của phương trình đã cho với \(4\) ta được \({x^2} - 4x + 4 =  - \dfrac{1}{2} + 4\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = \dfrac{7}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = \sqrt {\dfrac{7}{2}} \\x - 2 =  - \sqrt {\dfrac{7}{2}} \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\\x = 2 - \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 2 + \dfrac{{\sqrt {14} }}{2};x = 2 - \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\)

Câu 2: Giải phương trình \(2{x^2} - 8x =  - 1\).

Hướng dẫn giải

Chia cả hai vế của phương trình \(2{x^2} - 8x =  - 1\) cho \(2\) ta được phương trình

\({x^2} - 4x =  - \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 =  - \dfrac{1}{2} + 4\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = \dfrac{7}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = \sqrt {\dfrac{7}{2}} \\x - 2 =  - \sqrt {\dfrac{7}{2}} \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\\x = 2 - \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 2 + \dfrac{{\sqrt {14} }}{2};x = 2 - \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\)

Câu 1: Giải các phương trình

a) \(7{x^2} - 5x = 0\)

b) \( - \sqrt 2 {x^2} + 6x = 0\)

c) \(3,4{x^2} + 8,2x = 0\)

Câu 2: Giải các phương trình:

a) \(5{x^2} - 20 = 0\)

b) \( - 3{x^2} + 15 = 0\)

c) \(1,2{x^2} - 0,192 = 0\)

d) \(1172,5{x^2} + 42,18 = 0\)

Câu 3: Giải các phương trình:

a) \({\left( {x - 3} \right)^2} = 4\)

b) \({\left( {{1 \over 2} - x} \right)^2} - 3 = 0\)

c) \({\left( {2x - \sqrt 2 } \right)^2} - 8 = 0\)

Câu 4: Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:

a) \({x^2} - 6x + 5 = 0\)

b) \({x^2} - 3x - 7 = 0\)

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai:

A. \(x^2+4x-7=x^2+8x-10\)

B. \(x^3+8x=0\)

C. \(x^2-4=0\)

D. \(5x-1=0\)

Câu 2: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt{x^2+8x+25}\leq 3\) là:

A. \(x>-4\)

B. \(x<-4\)

C. \(x\geq -4\)

D. \(x=-4\)

Câu 3: Hệ số c của phương trình \(x^2+7x+9=9\) là:

​A. 9

B. -9

C. 0

D. 18

Câu 4: Số nghiệm của phương trình \(x^2=20x-10^2\)là:

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. vô số nghiệm

D. vô nghiệm

Câu 5: Tập nghiệm của phương trình \(x^2+10x+26< 1\) là:

A. \(x\geq -5\)

B. \(x\leq -5\)

C. \(x=-5\)

D. Vô nghiệm

Qua bài học này giúp học sinh:

• Nắm được định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn dạng tổng quát, dạng đặc biệt khi b= 0 hoặc c = 0 hoặc cả b và c bằng 0
• Biết cách giải các phương trình ở dạng đặc biệt. Biết biến đổi phương trình dạng tổng quát về dạng đặc biệt để giải