Toán 9 Chương 4 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Bài học Hệ thức Vi-ét và ứng dụng được eLib biên soạn kiến thức cần nhớ cụ thể, cùng với các bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết giúp các em học sinh nắm được cách biểu diễn tổng các bình phương, các lập phương của hai nghiệm qua các hệ số của phương trình, biết cách tìm được hai số biết tổng và tích của chúng,.... Hy vọng đây là tài liệu hữu ích cho các em học sinh.
Mục lục nội dung
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Hệ thức Vi-ét
Nhắc lại bài cũ về phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
Định lý Vi-ét
Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
Tổng quát
- Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).
- Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).
1.2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Tìm 2 số khi biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P. Giả sử 1 số là x thì số còn lại là \(S-x\)
Vì thế, tích của chúng được viết lại là: \(x(S-x)=P\Leftrightarrow x^2-Sx+P=0\)
Đặt \(\Delta =S^2-4P\)
2. Bài tập minh họa
2.1. Bài tập cơ bản
Câu 1: Hãy tính \(x_1+x_2;x_1.x_2\)
\(\displaystyle{x_1} = {{ - b + \sqrt \Delta } \over {2a}};\,{x_2} = {{ - b - \sqrt \Delta } \over {2a}}\)
Hướng dẫn giải
\(\eqalign{& {x_1} + {x_2} = {{ - b + \sqrt \Delta } \over {2a}} + {{ - b - \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - 2b} \over {2a}} = {{ - b} \over a} \cr & {x_1}.{x_2} = \left( {{{ - b + \sqrt \Delta } \over {2a}}} \right).\left( {{{ - b - \sqrt \Delta } \over {2a}}} \right) = {{ {(-b)^2} - \Delta } \over {4{a^2}}} \cr & = {{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)} \over {4{a^2}}} = {{4ac} \over {4{a^2}}} = {c \over a} \cr} \)
Câu 2: Cho phương trình \(2x^2 – 5x + 3 = 0.\)
a) Xác định các hệ số \(a, b, c\) rồi tính \(a + b + c.\)
b) Chứng tỏ rằng \( x_1 = 1\) là một nghiệm của phương trình.
c) Dùng định lý Vi-ét để tìm \(x_2.\)
Hướng dẫn giải
a) Phương trình \(2x^2 – 5x + 3 = 0\) có các hệ số \(a = 2; b = -5; c = 3\)
\( \Rightarrow a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0\)
b) Thay \(x = 1\) vào phương trình ta được:
\(2.1^2 - 5.1 + 3 = 0 \Leftrightarrow 0=0\) (luôn đúng)
Vậy \(x_1 = 1\) là một nghiệm của phương trình
c) Theo định lí Vi-et ta có:
\(\displaystyle{x_1}.{x_2} = {c \over a} = {3 \over 2} \Rightarrow 1.{x_2} = {3 \over 2} \Rightarrow {x_2} = {3 \over 2}\)
2.2. Bài tập nâng cao
Câu 1: Cho phương trình \(3x^2 +7x + 4 = 0.\)
a) Xác định các hệ số \(a, b, c\) rồi tính \(a - b + c.\)
b) Chứng tỏ rằng \( x_1 = -1\) là một nghiệm của phương trình.
c) Dùng định lý Vi-ét để tìm \(x_2.\)
Hướng dẫn giải
a) Phương trình \(3x^2 +7x + 4 = 0\) có các hệ số \(a = 3; b = 7; c = 4\)
\( \Rightarrow a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0\)
b) Thay \(x = -1\) vào phương trình ta được:
\(3.(-1)^2 +7.(-1) + 4 = 0 \Leftrightarrow 0=0\) (luôn đúng)
Vậy \(x_1 = -1\) là một nghiệm của phương trình
c) Theo định lí Vi-et ta có:
\(\displaystyle{x_1}.{x_2} = {c \over a} = {4 \over 3} \Rightarrow (-1).{x_2} = {4 \over 3} \Rightarrow {x_2} = {-4 \over 3}\)
Câu 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng \(1\) và tích của chúng bằng \(5.\)
Hướng dẫn giải
Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \(x^2-x+5=0\) (*)
Ta có \( \Delta=(-1)^2-4.1.5=-19<0\) nên phương trình (*) vô nghiệm.
Do đó không có hai số thỏa mãn điều kiện đề bài.
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét:
a) \(3{x^2} - 2x - 5 = 0\)
b) \(5{x^2} + 2x - 16 = 0\)
c) \(\displaystyle {1 \over 3}{x^2} + 2x - {{16} \over 3} = 0\)
d) \(\displaystyle {1 \over 2}{x^2} - 3x + 2 = 0\)
Câu 2: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình:
a) \(2{x^2} - 7x + 2 = 0\)
b) \(2{x^2} + 9x + 7 = 0\)
c) \(\left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2 = 0\)
d) \(1,4{x^2} - 3x + 1,2 = 0\)
Câu 3: Tính nhẩm nghiệm của phương trình:
a) \(7{x^2} - 9x + 2 = 0\)
b) \(23{x^2} - 9x - 32 = 0\)
c) \(1975{x^2} + 4x - 1979 = 0\)
d) \(\left( {5 + \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 - \sqrt 2 } \right)x - 10 \)\(\,= 0\)
Câu 4: Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm \(x_2\) của phương trình rồi tìm giá trị của \(m\) trong mỗi trường hợp sau:
a) Phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\), biết nghiệm \(x_1= 7\).
b) Phương trình \({x^2} - 13x + m = 0,\) biết nghiệm \(x_1 = 12,5\).
c) Phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0,\) biết nghiệm \(x_1 = -2\).
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho phương trình ẩn x có tham số m: \(x^2-(2m+3)x+m^2-3=0\)
Giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm đều âm là:
A. \(-\frac{7}{4}\leq m\leq \sqrt{3}\)
B. \(-\frac{7}{4}\leq m<-\sqrt{3}\)
C. \(-\frac{7}{4}\leq m\leq -\sqrt{3}\)
D. \(m\geq \frac{-7}{4}\)
Câu 2: Cho phương trình \(-x^2+8x-17=0\). Tổng và tích của 2 nghiệm phương trình trên là:
A. \(S=8; P=17\)
B. \(S=-8; P=17\)
C. \(S=8; P=-17\)
D. Không tìm được
Câu 3: Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình \(x^2+6x-2017=0\) lần lượt là:
A. \(S=-6;P=2017\)
B. \(S=6;P=-2017\)
C. \(S=6;P=2017\)
D. \(S=-6;P=-2017\)
Câu 4: Viết phương trình bậc hai, biết phương trình đó có nghiệm kép \(x=5\)
A. \(x^2+10x+25=0\)
B. \(x^2+10x-25=0\)
C. \(x^2-10x+25=0\)
D. \(x^2-10x-25=0\)
Câu 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x tham số m: \(x^2-(2m+1)x+m^2+m-6=0\)
Giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là:
A. \(m>2\)
B. \(m>-3\)
C. \(m>2\) hoặc \(m<-3\)
D. \(-3
4. Kết luận
Qua bài học này, học sinh cần:
- Phát biểu được hệ thức Vi-ét. Biết cách biểu diễn tổng các bình phương, các lập phương của hai nghiệm qua các hệ số của phương trình.
- Vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-ét để:
- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp a + b + c = 0; a - b + c = 0 hoặc các trường hợp mà tổng và tích của hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không lớn lắm.
- Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng.
Tham khảo thêm
- doc Toán 9 Chương 4 Bài 1: Hàm số \(y = ax^2\) (a ≠ 0)
- doc Toán 9 Chương 4 Bài 2: Đồ thị của hàm số \(y = ax^2\) (a ≠ 0)
- doc Toán 9 Chương 4 Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn
- doc Toán 9 Chương 4 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
- doc Toán 9 Chương 4 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
- doc Toán 9 Chương 4 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
- doc Toán 9 Chương 4 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- doc Toán 9 Ôn tập chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn