Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 6: Cộng, trừ đa thức

1. Giải bài 29 trang 40 SGK Toán 7

Tính:

a) \((x + y) + (x - y)\)

b) \((x + y) - (x - y)\)

Phương pháp giải

• Bước 1: Thực hiện bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc.
• Bước 2: Nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau.
• Bước 3: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

Hướng dẫn giải

Câu a:

\((x + y) + (x - y) \)

\(\,= x + y + x - y \)

\(\,=(x + x) + (y - y) = 2x\)

Câu b:

\((x + y) - (x - y) \)

\(\,= x + y - x + y \)

\(\,= (x - x) + (y + y) = 2y\) 

2. Giải bài 30 trang 40 SGK Toán 7

Phương pháp giải

3. Giải bài 31 trang 40 SGK Toán 7

Phương pháp giải

4. Giải bài 32 trang 40 SGK Toán 7

Phương pháp giải

5. Giải bài 33 trang 40 SGK Toán 7

Tính tổng của hai đa thức: 

a) \(M = {x^2}y + 0,5x{y^3}-7,5{x^3}{y^2} + {x^3}\) và  \(N = 3x{y^3}-{x^2}y + 5,5{x^3}{y^2}\)

b) \(P = {x^5} + xy{\rm{ }} + {\rm{ }}0,3{y^2}-{\rm{ }}{x^2}{y^3}-2\) và \(Q = {x^2}{y^3} + 5 - 1,3{y^2}\)

Phương pháp giải

Để cộng (hay trừ) hai đa thức, ta làm các bước sau:

• Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
• Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc)
• Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng
• Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

Hướng dẫn giải

Câu a:

\(M + N = (x^2y + 0,5xy^3 – 7,5x^3y^2 + x^3) + (3xy^3 – x^2y + 5,5x^3y^2)\)

\(= x^2y + 0,5xy^3 – 7,5x^3y^2 + x^3+ 3xy^3 – x^2y + 5,5x^3y^2\)

\(= (– 7,5x^3y^2 + 5,5x^3y^2) + (x^2y – x^2y ) + (0,5xy^3 + 3xy^3)+ x^3\)

\(= –2x^3y^2 + 0 + 3,5xy^3 + x^3\)

\(= –2x^3y^2 + 3,5xy^3 + x^3.\)

Vậy đa thức \( - 2{x^3}{y^{2}} + 3,5x{y^3} + {x^3}\) là tổng của hai đa thức \(M\) và \(N\)

Câu b:

\(P + Q = (x^5 + xy + 0,3y^2 – x^2y^3 – 2) + (x^2y^3 + 5 – 1,3y^2)\)

\(= x^5 + xy + 0,3y^2 – x^2y^3 – 2 + x^2y^3 + 5 – 1,3y^2\)

\(= x^5 +(– x^2y^3 + x^2y^3)+ (0,3y^2 – 1,3y^2)+ xy +(– 2 + 5)\)

\(= x^5 + 0 – y^2 + xy + 3.\)

\(= x5 – y2 + xy + 3.\)

Vậy đa thức \({x^5} - {y^{2}} + xy + 3\) là tổng của hai đa thức \(P\) và \(Q\).

6. Giải bài 34 trang 40 SGK Toán 7

Tính tổng của các đa thức:

a) \(P = {x^2}y +x{y^2}-5{x^2}{y^2} + {x^3}\) và \(Q=3x{y^2}-{x^2}y+{x^2}{y^2}\)

b) \(M = {x^3} + xy + {y^2}-{x^2}{y^{2}}-2\) và \(N = {x^2}{y^2} + 5-{y^2}\)

Phương pháp giải

Để cộng (hay trừ) hai đa thức, ta làm các bước sau:

• Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
• Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc)
• Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng
• Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

Hướng dẫn giải

Câu a:

\(P + Q = (x^2y + xy^2 – 5x^2y^2 + x^3) + (3xy^2 – x^2y + x^2y^2)\)

\(= x^2y + xy^2 – 5x^2y^2 + x^3 + 3xy^2 – x^2y + x^2y^2\)

\(= x^3 +(– 5x^2y^2 + x^2y^2)+ (x^2y – x^2y) + (xy^2+ 3xy^2)\)

\(= x^3 – 4x^2y^2 + 0 + 4xy^2\)

\(= x^3 – 4x^2y^2 + 4xy^2\)

Vậy đa thức \({x^3}-{\rm{ }}4{x^2}{y^2} + {\rm{ }}4x{y^2}\) là tổng của hai đa thức \(P\) và \(Q\).

Câu b:

\(M + N = (x^3 + xy + y^2 – x^2y^2 – 2) + (x^2y^2 + 5 – y^2)\)

\(= x^3 + xy + y^2 – x^2y^2 – 2 + x^2y^2 + 5 – y^2\)

\(= x^3 + (– x^2y^2 + x^2y^2) + (y^2 – y^2) + xy + (– 2 + 5)\)

\(= x^3 + 0 + 0 + xy + 3\)

\(= x^3 + xy + 3.\)

Vậy đa thức \({x^3} +xy +3\) là tổng của hai đa thức \(M\) và \(N\).

7. Giải bài 35 trang 40 SGK Toán 7

Cho hai đa thức:

\(M= {x^2}-2xy + {y^2}\);                           

\(N = {y^2} + 2xy + {x^2} + 1\).

a) Tính \(M + N\)

b) Tính \(M - N\)

Phương pháp giải

Để cộng (hay trừ) hai đa thức, ta làm các bước sau:

• Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
• Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc)
• Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng
• Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

Hướng dẫn giải

Câu a:

\(M + N = (x^2 – 2xy + y^2)+ (y^2 + 2xy + x^2 + 1)\)

\(= x^2 – 2xy + y^2 + y^2 + 2xy + x^2 + 1\)

\(= (x^2+ x^2) + (y^2 + y^2) + (– 2xy+ 2xy) + 1\)

\(= 2x^2 + 2y^2 + 0 + 1\)

\(= 2x2 + 2y2 +1\)

Câu b:

\(M – N = (x^2 – 2xy + y^2)– (y^2 +2xy +x^2 + 1)\)

\(= x^2 – 2xy + y^2 – y^2 – 2xy – x^2 – 1\)

\(= (x^2– x^2) + (y^2 – y^2) + (– 2xy – 2xy) – 1\)

\(= 0 + 0 – 4xy – 1\)

\(= – 4xy – 1.\)

8. Giải bài 36 trang 41 SGK Toán 7

Tính giá trị của mỗi đa thức sau:

a) \({x^{2}} + 2xy-3{x^3} + 2{y^3} + 3{x^3}-{y^3}\) tại \(x = 5\) và \(y = 4\)

b) \(xy - {x^2}{y^2} +{x^4}{y^4}-{x^6}{y^6} + {x^8}{y^8}\) tại \(x = -1\) và \(y = -1\)

Phương pháp giải

• Bước 1: Thu gọn đa thức đã cho bằng cách thu gọn các hạng tử đồng dạng.
• Bước 2: Thay giá trị của \(x\) và \(y\) vào đa thức sau khi thu gọn rồi tính giá trị.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Đặt \(A = {x^2} + 2xy - 3{x^3} + 2{y^3} + 3{x^3} - {y^3}\)

Trước hết ta thu gọn đa thức \(A\)

\(\eqalign{
& A = {x^2} + 2xy - 3{x^3} + 2{y^3} + 3{x^3} - {y^3} \cr 
& \,\,\,\,\,\, = {x^2} + 2xy + \left( { - 3{x^3} + 3{x^3}} \right) + \left( {2{y^3} - {y^3}} \right) \cr 
& \,\,\,\,\, = {x^2} + 2xy + {y^3} \cr} \)

Thay \(x = 5; y = 4\) vào đa thức \(A={x^2} + 2xy + {y^3}\) ta được:

\({5^2} + 2.5.4 + {4^3} = 25 + 40 + 64 = 129\).

Vậy giá trị của đa thức \(A\) tại \(x = 5\) và \(y = 4\) là \(129\).

Câu b:

Đặt \(M=xy - {x^2}{y^2} +{x^4}{y^4}-{x^6}{y^6} + {x^8}{y^8}\)

Thay \(x = -1; y = -1\) vào đa thức \(M\) ta được:

\(\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) - {\left( { - 1} \right)^2}.{\left( { - 1} \right)^2} \)\(\,+ {\left( { - 1} \right)^4}.{\left( { - 1} \right)^{4}} - {\left( { - 1} \right)^6}.{\rm{ }}{\left( { - 1} \right)^6} \)\(\,+ {\left( { - 1} \right)^8}.{\left( { - 1} \right)^8}\) 

\( = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1\).

Vậy giá trị của đa thức \(M\) tại \(x = -1\) và \(y = -1\) là \(1\).

Cách khác: 

\(M=xy - {x^2}{y^2} +{x^4}{y^4}-{x^6}{y^6} + {x^8}{y^8}\)

\(M=xy-(xy)^2+(xy)^4-(xy)^6+(xy)^8\)

Với \(x=-1;y=-1\) thì \(xy=(-1).(-1)=1\) nên \(M=1-1^2+1^4-1^6+1^8\)\(=1-1+1-1+1=1\)

9. Giải bài 37 trang 41 SGK Toán 7

Phương pháp giải

10. Giải bài 38 trang 41 SGK Toán 7

Cho các đa thức:

\(A = {x^2}-2y + xy + 1\)

\(B = {x^2} + y - {x^2}{y^2} - 1\).

Tìm đa thức \(C\) sao cho:

a) \(C = A + B\)

b) \(C + A = B\)

Phương pháp giải

Câu a:

Đa thức \(C\) là tổng của hai đa thức \(A\) và \(B\).

Câu b:

\(C\) có vai trò là số hạng chưa biết. Muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết.

Tức là đa thức \(C\) là hiệu của hai đa thức \(B\) và \(A\). 

Hướng dẫn giải

Câu a:

\(C = A + B = (x^2 – 2y + xy + 1) + (x^2 + y – x^2y^2 – 1)\)

\(C = x^2 – 2y + xy + 1 + x^2 + y – x^2y^2 – 1\)

\(C = (x^2+ x^2) + (– 2y + y) + xy – x^2y^2 + (1 – 1)\)

\(C = 2x^2 – y + xy – x^2y^2 + 0\)

\(C = 2x^2 – y + xy – x^2y^2\)

Câu b:

\(C + A = B ⟹ C = B – A\)

\(C = (x^2 + y – x^2y^2 – 1) – (x^2 – 2y + xy + 1)\)

\(C = x^2 + y – x^2y^2 – 1 – x^2 + 2y – xy – 1\)

\(C = (x^2– x^2) + (y + 2y) – x^2y^2 – xy + ( - 1 – 1)\)

\(C = 0 + 3y – x^2y^2 – xy – 2\)

\(C = 3y – x^2y^2 – xy – 2\)