Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 4: Giá trị tuyết đối của một số hữu tỉ. Cộng, trừ, nhhân, chia số thập phân

1.1. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

a) |-2,5| = 2,5

b) |-2,5| = -2,5

c) |-2,5| = -(-2,5)

1.2. Tìm x, biết

a) |x| = $\frac{1}{5}$

b) |x| = 0,37

c) |x| =0

d) |x| = $1\frac{2}{3}$

Phương pháp giải

$\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} x\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\  - x\,\,\, khi\,\,x < 0 \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

1.1. Ta có 

a) $|-2,5| = 2,5$ đúng

b)  $|-2,5| = -2,5$ sai

c) $|-2,5| = -(-2,5) = 2,5$ đúng

1.2. Tìm $x$

a) $|x| = \dfrac{1}{5}$  $\Rightarrow  x = \dfrac{1}{5}$ hoặc $x =- \dfrac{1}{5}$

b) $|x| = 0,37$  $\Rightarrow  x =  0,37$ hoặc $x = - 0,37$

c) $|x| =0$   $\Rightarrow  x = 0$ 

d) $|x| = 1\dfrac{2}{3}$  $\Rightarrow  x = 1\dfrac{2}{3}$ hoặc  $x =- 1\dfrac{2}{3}$ 

Tính

a) $-5,17 - 0,469$

b) $-2,05 + 1,73$

c) $(-5,17).(-3,1)$

d) $(-9,18) : 4,25$

Phương pháp giải

Cộng, trừ, nhân hai số thập phân theo các quy tắc về giá trị tuyệt đối và về dấu tương tự như đối với số nguyên.

Khi chia số thập phân $x$ cho số thập phân $y\,\left( {y \ne 0} \right),$ ta áp dụng quy tắc: Thương của hai số thập phân $x$ và $y$ là thương của $|x|$ và $|y|$ với dấu “+” đằng trước nếu $x$ và $y$ cùng dấu và dấu “ – “ đằng trước nếu $x$ và $y$ khác dấu.

Hướng dẫn giải

a) $- 5,17 - 0,469{\rm{ }} =  - 5,17 + \left( { - 0,469} \right)$$=  - \left( {5,17 + 0,469} \right) =  - 5,639$

b) $-2,05 + 1,73 = -( 2,05 - 1,73)$$= - 0,32$ 

c) $(-5,17).(-3,1) = 16,027$

d)  $(-9,18) : 4,25 = -2,16$

Với bài tập: Tính tổng $S = (-2,3) + (+41,5) + (-0,7) + (-1,5)$ hai bạn Hùng và Liên đã làm như sau

Bài làm của Hùng

$S = (-2,3) + (+41,5) + (-0,7) + (-1,5)$

$= [ (-2,3) + (-0,7) + (-1,5)] + 41,5$

$= (-4,5) + 41,5$

$= 37$

Bài làm của Liên

$S = (-2,3) + (+41,5) + (-0,7) + (-1,5)$

$= [ (-2,3) + (-0,7)] + [(+ 41,5) + (-1,5)]$

$= (-3) +40$

$= 37$

a) Hãy giải thích cách làm của mỗi bạn

b) Theo em nên làm cách nào?

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng.

$\begin{array}{l} a + b + c = \left( {a + c} \right) + b\\ \left( {a + b} \right) + c = a + \left( {b + c} \right) \end{array}$

Hướng dẫn giải

Câu a: Bạn Hùng áp dụng tính chất giao hoán để nhóm các số thập phân cùng dấu lại rồi thu gọn, sau đó tính tổng hai số thập phân trái dấu.

Bạn Liên nhóm các cặp số hạng một cách hợp lý, thu gọn, sau đó tính tổng hai số hạng trái dấu.

Câu b: Theo em, trong trường hợp này nên làm theo cách của bạn Liên, vì nó dễ làm, hợp lý, lời giải cho ra các kết quả trong ngoặc đẹp hơn và tránh gây nhầm lẫn.

Tính nhanh

a) $6,3 + (-3,7) + 2,4 + (-0,3)$

b) $(-4,9) + 5,5 + 4,9 + (-5,5)$

c) $2,9 + 3,7 + (-4,2) + (-2,9) + 4,2$

d) $(-6,5).2,8 + 2,8.(-3,5)$

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng, tính chất nhân phân phối giữa phép nhân với phép cộng.

$\begin{array}{l} a + b + c = \left( {a + c} \right) + b\\ \left( {a + b} \right) + c = a + \left( {b + c} \right)\\ ab + ac = a\left( {b + c} \right) \end{array}$

Hướng dẫn giải

Câu a: $6,3 + (-3,7) + 2,4 + (-0,3)$

$= (6,3 + 2,4) + [(-3,7) + (-0,3)]$

$= 8,7 + [-(3,7+0,3)]$

$= 8,7 + (-4) = 4,7$

Câu b: $(-4,9) + 5,5 + 4,9 + (-5,5)$

$= [(-4,9) + 4,9] + [ 5,5 + (-5,5)]$

$= 0 + 0 = 0$

Câu c: $2,9 + 3,7 + (-4,2) + (-2,9) + 4,2$

$= [2,9 + (-2,9)] + [(-4,2) + 4,2]$$+ 3,7$

$=0+0+3,7=3,7$

Câu d: $(-6,5).2,8 + 2,8.(-3,5)$

$= 2,8.[ (-6,5) + (-3,5)]$

$= 2,8.[- (6,5+3,5)]$

$= 2,8. ( -10) = -28$

(Sử dụng tính chất nhân phân phối giữa phép nhân và phép cộng: $ab+ac= a.(b+c)$)

a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn cùng một số hữu tỉ?

$\dfrac{{ - 14}}{{35}};\;\dfrac{{ - 27}}{{63}};\dfrac{{ - 26}}{{65}};\dfrac{{ - 36}}{{84}};\dfrac{{34}}{{ - 85}}$

b) Viết ba phân số cùng biểu diễn số hữu tỉ $\dfrac{{ - 3}}{7}$

Phương pháp giải

Rút gọn các phân số rồi so sánh kết quả rút gọn để tìm ra các phân số cùng biểu diễn một số hữu tỉ.

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{{ - 14}}{{35}} = \dfrac{{ - 14:7}}{{35:7}} = \dfrac{{ - 2}}{5}\\ \dfrac{{ - 26}}{{65}} = \dfrac{{ - 26:13}}{{65:13}} = \dfrac{{ - 2}}{5}\\ \dfrac{{34}}{{ - 85}} = \dfrac{{34:\left( { - 17} \right)}}{{\left( { - 85} \right):\left( { - 17} \right)}} = \dfrac{{ - 2}}{5} \end{array}$ 

$\eqalign{  \Rightarrow {{ - 14} \over {35}} = {{ - 26} \over {65}} = {{34} \over { - 85}} \cr}$

Vậy các phân số $\dfrac{{ - 14}}{{35}};\dfrac{{ - 26}}{{65}};\dfrac{{34}}{{ - 85}}$ cùng biểu diễn một số hữu tỉ

Tương tự

$\begin{array}{l} \dfrac{{ - 27}}{{63}} = \dfrac{{ - 27:9}}{{63:9}} = \dfrac{{ - 3}}{7}\\ \dfrac{{ - 36}}{{84}} = \dfrac{{ - 36:12}}{{84:12}} = \dfrac{{ - 3}}{7} \end{array}$

Suy ra $\dfrac{{ - 27}}{{63}} = \dfrac{{ - 36}}{{84}}$ 

Hay các phân số  $\dfrac{{ - 27}}{{63}}; \dfrac{{ - 36}}{{84}}$ cùng biểu diễn một số hữu tỉ.

Câu b: Ba phân số cùng biểu diễn số hữu tỉ $\dfrac{{ - 3}}{7}$ là:

$\dfrac{{ - 3}}{7} = \dfrac{{ - 6}}{{14}} = \dfrac{{12}}{{ - 28}} =  - \dfrac{{15}}{{35}}$ 

Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự lớn dần                                         

 $0,3;\,\dfrac{{ - 5}}{6};\, - 1\dfrac{2}{3};\,\dfrac{4}{{13}};\,0;\, - 0,875$

Phương pháp giải

Ta so sánh các số hữu tỉ dương với nhau và các số hữu tỉ âm với nhau sau đó sắp xếp.

Hướng dẫn giải

Viết các số hữu tỉ đã cho dưới dạng phân số tối giản

$0,3 = \dfrac{3}{{10}};\,\dfrac{{ - 5}}{6};\, - 1\dfrac{2}{3} = \dfrac{{ - 5}}{3};\,\dfrac{4}{{13}};\,0;$$\, - 0,875 = \dfrac{{ - 875}}{{1000}} = \dfrac{{ - 7}}{8}$

Các số hữu tỉ dương là: $0,3 = \dfrac{3}{{10}}$ và $\dfrac{4}{{13}}$

So sánh các số hữu tỉ dương với nhau:

Ta có : $\dfrac{3}{{10}} = \dfrac{{39}}{{130}};\dfrac{4}{{13}} = \dfrac{{40}}{{130}}$

Vì $39 < 40$  nên $\dfrac{{39}}{{130}}< \dfrac{{40}}{{130}}$

Hay $0,3 < \dfrac{4}{{13}}$

Các số hữu tỉ âm là: $\dfrac{{ - 5}}{6};\, - 1\dfrac{2}{3} = \dfrac{{ - 5}}{3};  - 0,875 = \dfrac{{ - 7}}{8}$

So sánh các số hữu tỉ âm với nhau ta được

$\begin{array}{l} \dfrac{{ - 5}}{6} = \dfrac{{ - 20}}{{24}};\dfrac{{ - 5}}{3} = \dfrac{{ - 40}}{{24}};\dfrac{{ - 7}}{8} = \dfrac{{ - 21}}{{24}}\\{Do\,\,\, - 40 <  - 21 <  - 20} \\  \Rightarrow \dfrac{{ - 40}}{{24}} < \dfrac{{ - 21}}{{24}} < \dfrac{{ - 20}}{{24}}\\    \Rightarrow \dfrac{{ - 5}}{3} < \dfrac{{ - 7}}{8}<\dfrac{{ - 5}}{6}\\\Rightarrow -1\dfrac{{ 2}}{3} < -0,875<\dfrac{{ - 5}}{6} \end{array}$

Vậy ta sắp xếp được như sau

$- 1\dfrac{2}{3} <  - 0,875 < \dfrac{{ - 5}}{6} < 0 < 0,3 < \dfrac{4}{{13}}$

Dựa vào tính chất " Nếu $x < y$ và $y< z$ thì $x< z$" hãy so sánh  

a) $\dfrac{4}{5}$ và $1,1$

b) $-500$ và $0,001$

c) $\dfrac{{13}}{{38}}$ và $\dfrac{{ - 12}}{{ - 37}}$

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất " Nếu $x < y$ và $y< z$ thì $x< z$"

Hướng dẫn giải

Câu a: So sánh cả hai số với số 1, ta có: 

$\dfrac{4}{5}<\dfrac{5}{5}$ hay $\dfrac{4}{5}<1$

$1<1,1$

Nên $\dfrac{4}{5} < 1 < 1,1{\kern 1pt} \,\, \Rightarrow {\kern 1pt} \dfrac{4}{5} < 1,1$

Câu b: So sánh cả hai số với số 0, ta có:

$-500 < 0 < 0,001 \Rightarrow -500 < 0,001$

Câu c: So sánh cả hai số với số $\dfrac{1}3,$ ta có:

$\dfrac{{ - 12}}{{ - 37}} = \dfrac{{12}}{{37}} < \dfrac{{12}}{{36}} = \dfrac{1}{3}$   (1)

$\dfrac{1}{3} = \dfrac{{13}}{{39}} < \dfrac{{13}}{{38}}$    (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \dfrac{{ - 12}}{{ - 37}} < \dfrac{1}{3} < \dfrac{{13}}{{38}}$

$\Rightarrow \dfrac{{ - 12}}{{ - 37}} < \dfrac{{13}}{{38}}$

Áp dụng tính chất các phép tính nhanh để tính nhanh

a) $(-2,5. 0,38. 0, 4) - [ 0,125. 3,15. (-8)]$

b) $[(-20,83) .0,2 + (-9,17).0,2] : [ 2,47.0,5 - (-3,53).0,5]$

Phương pháp giải

a) Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân số hữu tỉ.

$\begin{array}{l} a.b.c = \left( {a.c} \right).b\\ \left( {a.b} \right).c = a.\left( {b.c} \right) \end{array}$

b) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

$ab + ac = a.\left( {b + c} \right)$

Hướng dẫn giải

Câu a: $(-2,5. 0,38. 0, 4) - [ 0,125. 3,15. (-8)]$

$=[(-2,5.0,4).0,38] - [(-8.0,125).3,15]$

$= [(-1).0,38] - [(-1).3,15]$

$= -0,38 - (-3,15)$

$= -0,38 + 3,15$

$= 2,77$

Câu b: $[(-20,83) .0,2 + (-9,17).0,2] : [ 2,47.0,5 - (-3,53).0,5]$

$= \{[(-20,83)+( - 9,17)].0,2\} : [(2,47 + 3,53).0,5]$

$=[(-30).0,2]:(6.0,5)$

$= (-6) : 3$

$= -2$

Tìm $x$, biết

a) $|x -1,7| = 2,3$  

b) $\left| {x + \dfrac{3}{4}} \right| - \dfrac{1}{3} = 0$

Phương pháp giải

$|A| = B\,\,\left( {B \ge 0} \right)$ 
$\Rightarrow A=B$ hoặc $A=-B$

Hướng dẫn giải

Câu a: $|x -1,7| = 2,3$

$\Rightarrow x - 1,7 = 2,3$ hoặc $x - 1,7 = - 2,3$
+) Nếu $x - 1,7 = 2,3$$\Rightarrow x = 2,3+1,7$ $\Rightarrow x =4$
+) Nếu $x - 1,7 = -2,3$$\Rightarrow x = -2,3+1,7$ $\Rightarrow x =-0,6$

Vậy $x = 4$ hoặc $x = -0,6$

Câu b

$\begin{array}{l} \left| {x + \dfrac{3}{4}} \right| - \dfrac{1}{3} = 0\\\left| {x + \dfrac{3}{4}} \right| = 0+\dfrac{1}{3}\\ \left| {x + \dfrac{3}{4}} \right| = \dfrac{1}{3}\\ \text{Trường hợp 1}:\\x + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{3}\\x = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4}\\x = \dfrac{4}{12} - \dfrac{9}{12}\\ x = \dfrac{{ - 5}}{{12}}\\ \text{Trường hợp 2}:\\x + \dfrac{3}{4} =  - \dfrac{1}{3}\\x =  - \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4}\\x =  - \dfrac{4}{12} - \dfrac{9}{12}\\ x = \dfrac{{ - 13}}{{12}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{{ - 5}}{{12}}$ hoặc ${x = \dfrac{{ - 13}}{{12}}}$.

Dùng máy tính bỏ túi để tính

a) $(-3,1597) + (-2,39)$ 

b) $( -0,793) - (-2,1068)$

c) $( -0,5) . (-3,2) + ( -10,1) . 0,2$

d) $1,2. (-2,6) + (-1,4) : 0,7$

Phương pháp giải

Sử dụng máy tính để tính các phép tính rồi ghi lại kết quả.

Hướng dẫn giải

a) $(-3,1597) + (-2,39) = -5,5497$

b) $( -0,793) - (-2,1068) = 1,3138$

c) $( -0,5) . (-3,2) + ( -10,1) . 0,2 = -0,42$

d) $1,2. (-2,6) + (-1,4) : 0,7 = -5,12$