Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 5: Lũy thừa của một số hữu tỉ

Tính: \(\left ( \frac{-1}{3} \right )^4; \left ( -2\frac{1}{4} \right )^3;(-0,2)^2; (-5,3)^0\).

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên

\({x^n} = \underbrace {x.x.x...x}_{n\,\,\,số}\left( {x \in Q,n \in N,n > 1} \right)\)

\({a^0} = 1\)

Hướng dẫn giải

\({\left( {\dfrac{{ - 1}}{3}} \right)^4} = \left( {\dfrac{{ - 1}}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - 1}}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - 1}}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - 1}}{3}} \right) \)\(= \dfrac{1}{{81}}\)

\({\left( { - 2\dfrac{1}{4}} \right)^3} \)\(= {\left( {\dfrac{{ - 9}}{4}} \right)^3} \)\(= \left( {\dfrac{{ - 9}}{4}} \right).\left( {\dfrac{{ - 9}}{4}} \right).\left( {\dfrac{{ - 9}}{4}} \right) \)\(= \dfrac{{ - 729}}{{64}}\)

\(\,{\left( { - 0,2} \right)^2} = \left( { - 0,2} \right).\left( { - 0,2} \right) = 0,04\)

\({\left( { - 5,3} \right)^0} = 1\)

Tính

\({\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2};{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^3};{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^4};{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^5}\)

Hãy rút ra nhận xét về dấu của lũy thừa với số mũ chẵn và lũy thừa với số mũ lẻ của một số hữu tỉ âm

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên

\({x^n} = \underbrace {x.x.x...x}_{n\,\,\,thừa\,số}\left( {x \in Q,n \in N,n > 1} \right)\)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& {\left( { - {1 \over 2}} \right)^2} = \left( { - {1 \over 2}} \right).\left( { - {1 \over 2}} \right) = {1 \over 4} \cr
& {\left( { - {1 \over 2}} \right)^3} = \left( { - {1 \over 2}} \right).\left( { - {1 \over 2}} \right).\left( { - {1 \over 2}} \right) = - {1 \over 8} \cr
& {\left( { - {1 \over 2}} \right)^4} = \left( { - {1 \over 2}} \right).\left( { - {1 \over 2}} \right).\left( { - {1 \over 2}} \right).\left( { - {1 \over 2}} \right) = {1 \over {16}} \cr
& {\left( { - {1 \over 2}} \right)^5} = \left( { - {1 \over 2}} \right).\left( { - {1 \over 2}} \right).\left( { - {1 \over 2}} \right).\left( { - {1 \over 2}} \right).\left( { - {1 \over 2}} \right) = - {1 \over {32}} \cr} \)

Nhận xét

Lũy thừa với số mũ chẵn của một số hữu tỉ âm là một số hữu tỉ dương.

Lũy thừa với số mũ lẻ của một số hữu tỉ âm là một số hữu tỉ âm.

Chú ý

Ta cũng có thể tính toán như sau:

\(\begin{array}{l}
{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{{{2^2}}} = \dfrac{1}{4}\\
{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^3} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{{{2^3}}} = - \dfrac{1}{8}\\
{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^4} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}}}{{{2^4}}} = \dfrac{1}{{16}}\\
{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^5} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^5}}}{{{2^5}}} = - \dfrac{1}{{32}}
\end{array}\) 

Viết số \(\frac{{16}}{{81}}\) dưới dạng một lũy thừa, ví dụ \(\frac{{16}}{{81}} = {\left( {\frac{4}{9}} \right)^2}\). Hãy tìm các cách viết khác.

Phương pháp giải

\(x = \dfrac{a}{b}\) thì \({x^n} = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^n} = \dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)

Hướng dẫn giải

\(\dfrac{{16}}{{81}} = {\left( {\dfrac{{ - 4}}{9}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{{2^2}}}{{{3^2}}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^4} = {\left( {\dfrac{-2}{3}} \right)^4}\)

Tìm x, biết

a) \(x : (-\frac{1}{2})^{3} = - \frac{1}{2}\).

b) \((\frac{3}{4})^{5}.x =(\frac{3}{4}) ^{7}\).

Phương pháp giải

a) Muốn tìm số bị chia ta lấy thương nhân với số chia.

b) Muốn tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& a)\,\,x:{\left( { - {1 \over 2}} \right)^3} = - {1 \over 2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,x = \left( { - {1 \over 2}} \right).{\left( { - {1 \over 2}} \right)^3} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {\left( { - {1 \over 2}} \right)^{1+3}} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {\left( { - {1 \over 2}} \right)^4} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {1 \over {16}} \cr
& b)\,\,\,\,{\left( {\,{3 \over 4}} \right)^5}.x = {\left( {{3 \over 4}} \right)^7} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {\left( {{3 \over 4}} \right)^7}:{\left( {{3 \over 4}} \right)^5} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {\left( {{3 \over 4}} \right)^{7-5}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {\left( {{3 \over 4}} \right)^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {9 \over {16}} \cr} \)

Viết các số  \((0,25)^{8}\) và \((0,125)^{4}\)  dưới dạng các lũy thừa của cơ số 0,5.

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: \({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\)

Hướng dẫn giải

Ta có

Vì \(0,25=0,5^2\) nên \((0,25)^{8} = \left [ (0,5)^{2} \right ]^{8} =(0,5)^{2.8}= (0,5)^{16}\)

Vì \(0,125=0,5^3\) nên \((0,125)^{4} = \left [ (0,5)^{3} \right ]^{4} = (0,5)^{3.4}= (0,5)^{12}\)

Đố. Hãy chọn hai chữ số sao cho có thể viết hai chữ số đó thành một lũy thừa để được kết quả là số nguyên dương nhỏ nhất? (Chọn được càng nhiều càng tốt). 

Phương pháp giải

Ta chú ý: \({a^0} = 1\) với mọi \(a\ne 0;\) \({1^n} = 1\) với mọi \(n\) 

Hướng dẫn giải

Ta có số nguyên dương nhỏ nhất là \(1\), nên:

\(1^{1}=1^{2}=1^{3}=1^{4}=1^{5}=...=1^{9}=1\)

\(1^{0}=2^{0}=3^{0}=4^{0}=5^{0}=...=9^{0}=1\)

Dùng máy tính bỏ túi để tính

\((3,5)^{2};(-0,12)^{3};(1,5)^{4};\)\((-0,1)^{5};(1,2)^{6}\)      

Phương pháp giải

Dùng máy tính bấm để ra kết quả.

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& {\left( {3,5} \right)^2} = 12,25 \cr
& {\left( { - 0,12} \right)^3} = -0,001728 \cr
& {\left( {1,5} \right)^4} = 5,0625 \cr
& {\left( { - 0,1} \right)^5} = - 0,00001 \cr
& {\left( {1,2} \right)^6} = 2,985984 \cr} \)