Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 4: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh - góc - cạnh

Vẽ tam giác $ABC$ biết $\widehat{A}= 90^o;AB=AC=3cm.$ Sau đó đo các góc $B$ và $C.$

Phương pháp giải:

Vẽ tam giác $ABC$ có $\widehat A = {x^o};AC = a;AB = b$

- Vẽ góc $\widehat{xAy}={x^o}$

- Trên tia $Ax$ vẽ đoạn thẳng $AB= b$,

- Trên tia $Ay$ vẽ đoạn thẳng $AC= a$,

- Vẽ đoạn $BC$, ta được tam giác $ABC$ phải dựng.

Hướng dẫn giải:

Cách vẽ:

- Vẽ góc $\widehat{xAy}={90^0}$

- Trên tia $Ax$ vẽ đoạn thẳng $AB= 3cm$,

- Trên tia $Ay$ vẽ đoạn thẳng $AC= 3cm$,

- Vẽ đoạn $BC$, ta được tam giác $ABC$.

Ta đo các góc $B$ và $C$ ta được $\widehat{B}= \widehat{C}={45^0}$ 

Trên mỗi hình 82, 83, 84 có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao? 

Phương pháp giải:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Hình 82

Xét $∆ADB$ và $∆ADE$ có:

+) $AB=AE$ (giả thiết)

+) $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$ (giả thiết)

+) $AD$ chung

$\Rightarrow ∆ADB = ∆ADE\;(c.g.c)$

Hình 83

Xét $∆HGK$ và $∆IKG$ có:

+) $HG=IK$ (giả thiết)

+) $\widehat{HGK}=\widehat{IKG}$ (giả thiết)

+) $GK$ là cạnh chung

$\Rightarrow ∆HGK =  ∆IKG( c.g.c)$

Hình 84

Xét $∆PMQ$ và $∆PMN$ có:

$MP$ cạnh chung

$\widehat{M_{1}}=\widehat{M_{2}}$ (giả thiết)

$PQ=PN$ (giả thiết)

Nhưng $\widehat{M_{1}}$ không xen giữa hai cạnh $MP$ và $PN$

$\widehat{M_{2}}$ không xen giữa hai cạnh $MP$ và $PQ$

Nên $\Delta PMQ$ không bằng $\Delta PMN$.

Xét bài toán: 

" Cho tam giác $ABC, M$ là trung điểm của $BC.$ Trên tia đối của $MA$ lấy điểm $E$ sao cho $ME=MA.$ Chứng minh rẳng $AB//CE"$. 

Dưới đây là hình vẽ và giả thiết, kết luận của bài toán (h.85) 

Hãy sắp xếp lại năm câu sau đây một cách hợp lí để giải bài toán  trên:

1) $MB = MC$ (giả thiết)

    $\widehat{AMB}=\widehat{EMC}$ (hai góc đối đỉnh)

    $MA= ME$ (giả thiết)

2) Do đó $∆AMB=∆EMC$ (c.g.c)

3)  $\widehat{MAB}=\widehat{MEC}$ $\Rightarrow  AB//CE$ (có hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong)

4) $∆AMB=  ∆EMC$ $\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{MEC}$ (hai góc tương ứng)

5) $∆AMB$ và $∆EMC$ có:

Phương pháp giải:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Thứ tự sắp xếp là: $5; 1; 2; 4; 3$

$∆AMB$ và $∆EMC$ có: 

    $MB = MC$ (giả thiết)

    $\widehat{AMB}=\widehat{EMC}$ (hai góc đối đỉnh)

    $MA= ME$ (giả thiết)

Do đó $∆AMB=∆EMC$ (c.g.c)

$∆AMB=  ∆EMC$ $\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{MEC}$ (hai góc tương ứng)

$\widehat{MAB}=\widehat{MEC}$ $\Rightarrow  AB//CE$ (có hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong)

Nêu thêm một điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình vẽ dưới đây là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc- cạnh.

a) $∆ABC= ∆ADC$ (h.86);

b) $∆AMB= ∆EMC$ (h.87)

c) $∆CAB= ∆DBA$. (h.88) 

Phương pháp giải:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Xét $∆ABC$ và $∆ADC$ có:

+) $AB=AD$ (giả thiết)

+) $AC$ cạnh chung

Bổ sung thêm $\widehat{BAC}=\widehat{DAC}$ thì $∆ABC= ∆ADC$ (c.g.c)

Câu b: Xét $∆AMB$ và $∆EMC$ có:

+) $BM=CM$ (giả thiết)

+) $\widehat {AMB} = \widehat {EMC}$ (giả thiết)

Bổ sung thêm $MA=ME$ thì $∆AMB= ∆EMC$ (c.g.c)

Câu c: Xét $∆CAB$ và $∆DBA$ có:

+) $AB$ chung

+) $\widehat {CAB} = \widehat {DBA}\;\left( { = {{90}^o}} \right)$

Bổ sung thêm $AC=BD$ thì $∆CAB= ∆DBA$ (c.g.c)

Trên hình 89 có bao nhiêu tam giác bằng nhau?

Phương pháp giải:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Tam giác $DKE$ có: 

$\widehat{D}+\widehat{K}+\widehat{E}=180^0$ (định lí tổng ba góc của một tam giác).

$\widehat{D}+80^0 +40^0=180^0$

$\widehat{D}=180^0-120^0=60^0$ 

Xét $∆ ABC$  và $∆KDE$ có: 

+) $AB=KD$ (giả thiết)

+) $\widehat{B}=\widehat{D}=60^0$

+) $BC= DE$ (giả thiết)

Do đó $∆ABC= ∆KDE\;(c.g.c)$

Xét $\Delta NMP$ và $∆ ABC$ có:

+) $NM= AB$ (giả thiết)

+) $\widehat{M}=\widehat{B}=60^0$

+) $NP=BC$ (giả thiết)

Nhưng $\Delta NMP$ không bằng $∆ ABC$ vì $\widehat M$ không xen giữa hai cạnh $NP$ và $NM.$

Suy ra $\Delta NMP$ cũng không bằng $∆ KDE$

Cho góc $xAy$. Lấy điểm $B$ trên tia $Ax$, điểm $D$ trên tia $Ay$ sao cho $AB=AD$.Trên tia $Bx$ lấy điểm $E$, trên tia $Dy$ lấy điểm $C$ sao cho $BE=DC$. Chứng minh rằng $\Delta ABC = \Delta ADE$.

Phương pháp giải:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $AC=AD+DC$ 

         $AE= AB+BE$

Do $AD=AB, DC=BE$ (giả thiết).

$\Rightarrow AC=AE$.

Xét $∆ABC$ và $∆ ADE$ có:

+) $AC=AE$ (chứng minh trên)

+) $\widehat{A}$ chung

+) $AB=AD$ (giả thiết)

$\Rightarrow ∆ABC =∆ADE\;(c.g.c)$

Trên hình 90, các tam giác $ABC$ và $A'BC$ có cạnh chung $BC= 3cm$, $CA=CA'= 2cm$, $\widehat{ABC }=\widehat{A'BC }= 30^o$ nhưng hai tam giác đó không bằng nhau.

Tại sao ở đây không áp dụng trường hợp cạnh góc cạnh để kết luận $∆ABC=∆A'BC?$ 

Phương pháp giải:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

$\widehat {ABC}$ không phải là góc xen giữa hai cạnh $BC$ và $CA$, $\widehat {A'BC}$ không phải là góc xen giữa hai cạnh $BC$ và $CA'$.

Do đó không thể sử dụng trường hợp cạnh góc cạnh để kết luận $∆ABC=∆A'B C.$

(bởi vì để có 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh góc cạnh thì góc bắt buộc phải xen giữa hai cạnh bằng nhau tương ứng đó) 

Cho đoạn thẳng $AB$, điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$. So sánh độ dài các đoạn thẳng $MA$ và $MB.$

Phương pháp giải:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Gọi $H$ là giao điểm của đường trung trực của $AB$ với đoạn thẳng $AB$. Do đó $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $MH\bot AB$. 

Xét $∆AHM$ và $∆BHM$ có:

+) $AH = BH$ ($H$ là trung điểm của $AB$)

+) $MH$ cạnh chung

+) $\widehat {AHM} = \widehat {BHM}\,( = {90^0})$ (do $MH\bot AB$) 

$\Rightarrow  ∆AHM = ∆BHM$ (c .g.c )

$\Rightarrow MA = MB$ (hai cạnh tương ứng).

Tìm các tia phân giác trên hình 91. Hãy chứng minh điều đó.

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

- Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Xét $∆AHB$ và $∆KHB$ có:

+) $AH=KH$ (giả thiết)

+) $\widehat{AHB }=\widehat{KHB }\; (=90^0)$

+) $BH$ cạnh chung .

$\Rightarrow ∆AHB=∆KHB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{ABH }=\widehat{KBH }$ (hai góc tương ứng)

Vậy $BH$ là tia phân giác của $\widehat {ABK}$.

Xét $∆AHC$ và  $∆KHC$ có:

+) $HC$ cạnh chung

+) $\widehat{AHC }=\widehat{KHC }\;(=90^0)$

+) $HA=HK$ (giả thiết)

$\Rightarrow ∆AHC =∆KHC$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{ACH }=\widehat{KC H }$ (hai góc tương ứng).

Vậy $CH$ là tia phân giác của $\widehat {ACK}$

+) Ta có: $\widehat {BHA} = \widehat {CHA} = {90^0}$ nên $HA$ là tia phân giác của góc $BHC$

+) Ta có: $\widehat {BHK} = \widehat {CHK} = {90^0}$ nên $HK$ là tia phân giác của góc \(BHC\