Giải bài tập SGK Toán 7 Bài Ôn tập Chương 2: Tam giác

Điền dấu “x” vào chỗ trống (…) một cách thích hợp: 

Phương pháp giải:

Định lí tổng các góc của một tam giác bằng $180^o$.

Hướng dẫn giải:

Giải thích các ý sai:

3) Tam giác nhọn là tam giác có $3$ góc nhọn. Do đó tồn tại tam giác có góc lớn nhất là góc nhọn.

4) Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau. 

6) Nếu $\widehat A$ là góc ở đỉnh của một tam giác cân thì $\widehat A$ có thể là góc nhọn, góc vuông, góc tù.

(Chẳng hạn tam giác có ba góc lần lượt là $120^0,30^0,30^0$ là tam giác cân có góc ở đỉnh là $120^0>90^0$).

Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định lí nào?

a) Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

b) Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

c) Trong một tam giác đều, các góc bằng nhau.

d) Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của tam giác cân và định lí về tổng ba góc của một tam giác.

Lời giải chi tiết

Các tính chất ở các câu (a); (b) được suy ra từ định lí: “Tổng ba góc của một tam giác bằng ${180^0}$”.

Tính chất ở câu (c) được suy ra từ định lí: “Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau”.

Tính chất ở câu (d) được suy ra từ định lí: “Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân”.

* Chứng minh:

Câu a: 

Ta có:

Tổng ba góc của tam giác $ABC$ bằng $180^o$ nên $\widehat A + \widehat B = {180^o} - \widehat C$

Góc $ACx$ là góc ngoài của tam giác $ABC$ nên $\widehat {ACx} = 180^o -\widehat C$

Do đó: $\widehat {ACx} = \widehat A + \widehat B$.

Câu b: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ 

$\Rightarrow \widehat A = {90^o}$

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào $\Delta ABC$ ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A = {180^o} - {90^o} = {90^o}$

Câu c: Giả sử có tam giác $ABC$ đều

$⇒ AB = AC =BC$

$⇒ ΔABC$ cân tại $A$ và cân tại $B$.

$\Rightarrow \widehat A = \widehat B;\,\,\,\,\widehat A = \widehat C$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat A = \widehat B = \widehat C$

Câu d: Giả sử $\Delta ABC$ có $\widehat A = \widehat B = \widehat C$

Có $\widehat A = \widehat B \Rightarrow$ $\Delta ABC$ cân tại $C$, do đó $CA=CB$.

Có $\widehat B = \widehat C \Rightarrow$ $\Delta ABC$ cân tại $A$ do đó $AC=AB$

$⇒ AB = AC = BC ⇒ ΔABC$ là tam giác đều.

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $a.$ Vẽ cung tròn tâm $A$ cắt đường thẳng $a$ ở $B$ và $C.$ Vẽ các cung tròn tâm $B$ và tâm $C$ có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại một điểm khác $A$, gọi điểm đó là $D$. Hãy giải thích vì sao $AD$ vuông góc với đường thẳng $a.$

Phương pháp giải:

- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Xét $∆ABD$ và $∆ACD$ có:

$AB = AC$ (bằng bán kính cung tròn tâm $A$) 

$DB = DC$ (vì cung tròn tâm $B$ và tâm $C$ có cùng bán kính)

$AD$ cạnh chung

$\Rightarrow ∆ABD = ∆ACD$ (c.c.c)

$\Rightarrow\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ (hai góc tương ứng)

Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $a.$

Xét $∆AHB$ và $∆AHC$ có:

$AB = AC$ (bằng bán kính cung tròn tâm $A$)

$\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ (chứng minh trên)

$AH$ cạnh chung

$\Rightarrow  ∆AHB = ∆AHC$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}$ (hai góc tương ứng)

Ta lại có: $\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = {180^o}$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}$$=180^0:2= {90^o}$

Vậy $AD ⊥ a$ (điều phải chứng minh).

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A.$ Trên tia đối của $BC$ lấy điểm $M$, trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $N$ sao cho $BM = CN.$

a) Chứng minh rằng tam giác $AMN$ là tam giác cân.

b) Kẻ $BH ⊥ AM$ ($H \in AM$), kẻ $CK ⊥ AN\; (K  \in  AN).$ Chứng minh rằng $BH = CK.$

c) Chứng minh rằng $AH = AK.$

d) Gọi $O$ là giao điểm của $HB$ và $KC.$ Tam giác $OBC$ là tam giác gì? Vì sao?

e) Khi $\widehat {BAC} = {60^o}$ và $BM = CN = BC,$ hãy tính số đo các góc của tam giác $AMN$ và xác định dạng của tam giác $OBC.$

Phương pháp giải:

- Chứng minh một tam giác là tam giác cân bằng cách chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau.

- Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau bằng cách chứng minh các tam giác bằng nhau.

- Chứng minh tam giác là đều bằng cách chứng minh tam giác cân có một góc bằng $60^o$.

Hướng dẫn giải:

Câu a: $∆ABC$ cân tại $A$, suy ra  $\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}$   (1) 

$\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}$ (hai góc kề bù)  (2)

$\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}$ (hai góc kề bù)   (3)

 Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}$

Xét $∆ABM$ và $∆ACN$ có:

$AB = AC$ ($∆ABC$ cân tại $A$)

$\widehat {ABM} = \widehat {ACN}$ (chứng minh trên)

$BM = CN$ (giả thiết)

$\Rightarrow ∆ABM = ∆ACN$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat M = \widehat N$ (hai góc tương ứng)

Vậy $∆AMN$ là tam giác cân tại $A.$

Câu b: Xét hai tam giác vuông $BHM$ (vuông tại $H$) và $CKN$ (vuông tại $K$) có :

$BM = CN$ (giả thiết)

$\widehat M = \widehat N$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ∆BHM  = ∆CKN$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow BH = CK$ (hai cạnh tương ứng)

Câu c: Theo câu a) ta có tam giác $AMN$ cân ở $A$ nên $AM = AN$ (*)

Theo câu b ta có $∆BHM = ∆CKN$ nên suy ra $HM = KN$ (2*).

Từ (*) và (2*) ta có: $AH = AM – HM = AN – KN = AK$

Vậy $AH = AK.$

Câu d: $∆BHM = ∆CKN$ suy ra $\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}$ (2 góc đối đỉnh); $\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}$ (2 góc đối đỉnh)

Nên $\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}$ .

Vậy $∆OBC$ là tam giác cân tại $O.$

Câu e: Khi $\widehat {BAC} = {60^o}$ và $BM = CN = BC$ hình được vẽ lại như sau:

+ Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat {BAC} = {60^o}$ nên là tam giác đều hay $AB = BC = AC$.

Mặt khác: $BM = CN = BC$ (giả thiết)

Do đó: $AB = BC = AC = BM = CN$. 

Vì $\Delta ABC$ đều nên $\widehat {B_1} = \widehat {C_1} = {60^o}$

Ta có $\widehat {B_1}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $ABM$ nên $\widehat M + \widehat {BAM}=\widehat {B_1}=60^0$ (***)

Vì $AB = BM$ (chứng minh trên) nên $∆ABM$ cân tại $B$ suy ra $\widehat M = \widehat {BAM}$

Kết hợp với (***) ta có: $\widehat M = \widehat {BAM}= \dfrac{60^0}{2}= {30^o}$ .

Lại có $\Delta AMN$ cân tại $A$ (câu a)

Suy ra $\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^o}$ .

Theo định lý tổng ba góc trong tam giác $AMN$ ta có:

$\widehat {MAN} +{\widehat {AMN} + \widehat {ANM}}= {180^o}$

$\Rightarrow \widehat {MAN} = {180^o} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)$

$= {180^o} - ({30^o+30^0}) = {120^o}$

Vậy $∆AMN$ có $\widehat M = \widehat N = {30^o};\widehat A = {120^o}.$

+ $∆BHM$ vuông tại $H$ có: $\widehat M = {30^o}$ nên $\widehat {{B_2}} =90^0-\widehat M$$= 90^0-30^0={60^o}$ (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat {{B_3}}=\widehat {{B_2}} = {60^o}$ (2 góc đối đỉnh)

Tam giác $OBC$ cân (theo câu d) có $\widehat {{B_3}} = {60^o}$ nên tam giác $OBC$ là tam giác đều.

Tam giác $ABC$ trên giấy kẻ ô vuông (h.151) là tam giác gì ? Vì sao ?

Phương pháp giải:

Cách 1: Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân bằng cách chứng minh $\widehat {BAC} = {90^0}$ và $AB = AC$ (dựa vào cách chứng minh hai tam giác bằng nhau).

Cách 2: Sử dụng định lí Pytago và định lí Pytago đảo.

Hướng dẫn giải:

Gọi tên như hình vẽ. 

Xét $∆AHB$ và $∆CKA$ có:

$AH = CK$ ($= 3$ ô vuông)

$\widehat H = \widehat K\left( { = {{90}^o}} \right)$

$HB = KA$ ($= 2$ ô vuông)

$\Rightarrow  ∆AHB = ∆CKA$ (c.g.c)

$\Rightarrow AB = CA$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {ACK}$ (hai góc tương ứng).

Ta lại có: $\widehat {ACK} + \widehat {CAK} = {90^o}$ (hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau).

Nên $\widehat {BAH} + \widehat {CAK} = {90^0}$

Do đó $\widehat {BAC} = 180^o - (\widehat {BAH} + \widehat {CAK})$$= 180^o - 90^0 = 90^o$

Vậy tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A.$

Cách khác:

Gọi độ dài cạnh của mỗi ô vuông là $1$. Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông, ta có:

$\begin{array}{l} A{B^2} = {2^2} + {3^2} = 13\\ A{C^2} = {2^2} + {3^2} = 13\\ B{C^2} = {5^2} + {1^2} = 26 \end{array}$

Ta có $A{B^2} + A{C^2} = 13 + 13 = 26 = B{C^2}$ nên $\Delta ABC$ vuông tại $A$ (theo định lí Pytago đảo).

Lại có $AB^2=AC^2(=13)$ nên $AB=AC$

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$.

Đố vui : Dũng đố Cường dùng $12$ que diêm bằng nhau để xếp thành:

a) Một tam giác đều ;

b) Một tam giác cân mà không đều;

c) Một tam giác vuông.

Em hãy giúp Cường trong từng trường hợp trên. 

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất của các tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Xếp tam giác đều: Xếp tam giác với mỗi cạnh là bốn que diêm.

Câu b: Một tam giác cân mà không đều: $2$ cạnh bên $5$ que diêm, cạnh đáy $2$ que.

Câu c: Xếp tam giác vuông: Xếp tam giác có các cạnh lần lượt là ba, bốn và năm que diêm. (Cạnh huyền $5$ que diêm, $2$ cạnh góc vuông lần lượt là $3$ que diêm và $4$ que diêm, vì $5^2 = 3^2 +4^2$).

Đố: Trên hình 152, một cầu trượt có đường lên $BA$ dài $5m$, độ dài $AH$ là $3m$, độ dài $BC$ là $10m$ và $CD$ là $2m.$ Bạn Mai nói rằng đường trượt tổng cộng $ACD$ gấp hơn hai lần đường lên $BA.$ Bạn Vân nói rằng điều đó không đúng. Ai đúng, ai sai?

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pytago ta sẽ tính độ dài đường trượt $ACD$ rồi so sánh với độ dài đường lên $AB.$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Pytago vào $\Delta AHB$ vuông tại $H$ ta có:

$A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}$

$\Rightarrow H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = {5^2} - {3^2} = 25 - 9 = 16$

$\Rightarrow  HB = 4\;(m)$

$HC = BC - HB = 10 - 4 = 6 \;(m)$

Áp dụng định lí Pytago vào $\Delta AHC$ vuông tại $H$ ta có:

$A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}$

          $= {3^2} + {6^2} = 9 + 36 = 45$

$\Rightarrow AC = \sqrt {45}  \approx 6,7m$

Độ dài đường trượt $ACD$ là:

       $AC+CD=6,7 + 2 = 8,7\; (m)$

Hai lần đường lên $BA$ là:

      $AB.2=5.2 = 10\; (m)$

Do đó độ dài đường trượt $ACD$ chưa bằng hai lần đường lên $BA.$

Vậy bạn Mai nói sai, bạn Vân nói đúng.