Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc - cạnh - góc

Vẽ tam giác $ABC$ biết $AC=2\,cm;$  $\widehat{A}= {90^o};$ $\widehat{C}={60^o}$.

Phương pháp giải:

Vẽ tam giác $ABC$ có $AC=a;$  $\widehat{A}= {x^o};$ $\widehat{C}={y^o}$.

Cách vẽ: 

- Vẽ đoạn $AC=a$

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $AC$ vẽ tia $Ax$ và $Cy$ sao cho $\widehat{CAx}= {x^o}$; $\widehat{ACy}={y^o}$

Hai tia cắt nhau ở $B$, ta được tam giác $ABC$ cần vẽ. 

Hướng dẫn giải:

Cách vẽ: 

- Vẽ đoạn $AC=2\,cm$

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $AC$ vẽ tia $Ax$ và $Cy$ sao cho $\widehat{CAx}= {90^o}$; $\widehat{ACy}={60^o}$

Hai tia cắt nhau ở $B$, ta được tam giác $ABC$ cần vẽ. 

Trên mỗi hình 98,99 có tam giác nào bằng nhau? Vì sao?

Phương pháp giải:

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Xem hình 98)

Xét $∆ABC$ và $∆ABD$ có: 

+) $\widehat{CAB}=\widehat{DAB}$ (giả thiết)

+) $AB$ là cạnh chung.

+) $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}$ (giả thiết)

$\Rightarrow ∆ABC=∆ABD$ (g.c.g)

Xem hình 99) (gọi tên như hình vẽ) 

Ta có:

$\widehat{B_{1}}+\widehat{B_{2}}=180^0$  (hai góc kề bù).

$\widehat{C _{1}}+ \widehat{C _{2}}=180^0$  (hai góc kề bù)

Mà $\widehat{B_{2}}=\widehat{C _{2}}$  (giả thiết)  nên $\widehat{B_{1}}=\widehat{C _{1}}$

* Xét $∆ABD$ và $∆ACE$ có:

+) $\widehat{B_{1}}=\widehat{C _{1}}$ (chứng minh trên)

+) $BD=EC$  (giả thiết)

+) $\widehat{D } = \widehat{E }$  (giả thiết)

$\Rightarrow ∆ABD=∆ACE$  (g.c.g)

Ta có: 

$DC=DB+BC$ 

$EB=EC+CB$

Mà $DB=EC$

Do đó: $DC=EB$

* Xét $∆ADC$ và $∆AEB$ có:

+) $\widehat{D }=\widehat{E }$  (giả thiết)

+) $\widehat{C _{2}}=\widehat{B_{2}}$  (giả thiết)

+) $DC=EB$  (chứng minh trên)

$\Rightarrow ∆ADC=∆AEB$ (g.c.g)

Cho góc $xOy$ khác góc bẹt, $Ot$ là tia phân giác của góc đó. Qua $H$ thuộc tia $Ot$ , kẻ  đường vuông góc với $Ot$, nó cắt $Ox$ và $Oy$  theo thứ tự  $A$ và $B$.

a) Chứng minh rằng $OA=OB$.

b ) Lấy điểm $C$ thuộc tia $Ot$, chứng minh rằng $CA=CB$ và $\widehat{OAC }= \widehat{OBC }$.

Phương pháp giải:

a) Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

b) Nếu hai cạnh và một góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và một góc xen giữa của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

a) Xét $∆AOH$ và  $∆BOH$ có: 

+) $\widehat{AOH}=\widehat{BOH}$ (vì $Ot$ là phân giác của $\widehat {xOy}$)

+) $OH$ là cạnh chung

+) $\widehat {AHO} = \widehat {BHO}\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\Rightarrow ∆AOH =∆BOH$ ( g.c.g)

$\Rightarrow OA=OB$ (hai cạnh tương ứng).

b) Xét  $∆AOC$ và $∆BOC$ có:

+) $OA=OB$ (chứng minh trên)

+) $\widehat{AOC}=\widehat{BOC}$  (vì $Ot$ là phân giác của $\widehat {xOy}$)

+) $OC$ cạnh chung.

$\Rightarrow ∆AOC= ∆BOC$ (c.g.c)

$\Rightarrow CA=CB$ ( hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \widehat{OAC }= \widehat{OBC }$  (hai góc tương ứng).

Trên hình 100 ta có $OA=OB$, $\widehat{OAC}=\widehat{OBD}$.

Chứng minh rằng $AC=BD.$

Phương pháp giải:

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Xét $∆OAC$ và $∆OBD$ có: 

+ $\widehat{OAC} = \widehat{OBD}$ (giả thiết)

+ $OA = OB$ (giả thiết)

+ $\widehat{O}$ chung

$\Rightarrow  ∆OAC = ∆OBD$ (g.c.g)

$\Rightarrow AC = BD$ ($2$ cạnh tương ứng).

Trên mỗi hình 101, 102, 103 có tam giác nào bằng nhau? Vì sao?

Phương pháp giải:

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Tính các góc còn lại trên mỗi hình trên ta được:

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác ta có:

$\eqalign{ & \widehat A = {180^0} - \widehat B - \widehat C\cr&\;\;\;\; = {180^0} - {80^0} - {40^0} = {60^0} \cr & \widehat H = {180^0} - \widehat G - \widehat I \cr&\;\;\;\;\;= {180^0} - {30^0} - {80^0} = {70^0} \cr & \widehat E = {180^0} - \widehat D - \widehat F \cr&\;\;\;\;= {180^0} - {80^0} - {60^0} = {40^0} \cr & \widehat L = {180^0} - \widehat K - \widehat M \cr&\;\;\;\;= {180^0} - {80^0} - {30^0} = {70^0} \cr & \widehat {QNR} = {180^0} - \widehat {NRQ} - \widehat {RQN} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {180^0} - {40^0} - {60^0} = {80^0} \cr & \widehat {NRP} = {180^0} - \widehat {RPN} - \widehat {PNR}\cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {180^0} - {60^0} - {40^0} = {80^0} \cr}$

- Xét $∆ABC$ và $∆FDE$ (Hình 101)

+) $\widehat{B} = \widehat{D}=80^o$

+) $BC=DE=3$

+) $\widehat{C}=\widehat{E}=40^o$

$\Rightarrow ∆ABC=∆FDE$  (g.c.g)

- Xét  $∆NQR$ và $∆RPN$ (Hình 103)

+) $\widehat{QNR}=\widehat{NRP}=80^0$

+) $NR$ là cạnh chung.

+) $\widehat{NRQ}=\widehat{RNP}=40^0$

Suy ra $∆NQR=∆RPN$  (g.c.g)

- Xét $\Delta HIG$ và $\Delta LKM$ (Hình 102)

$\eqalign{ & + )\,\,GI = ML \cr  & + )\,\,\widehat G = \widehat M \cr  & + )\,\,\widehat I = \widehat K \cr}$

Ta có: $\widehat G,\; \widehat I$ cùng kề với cạnh $GI$, còn $\widehat M$ kề với cạnh $ML$ nhưng $\widehat K$ không kề với cạnh $ML$ nên $\Delta HIG$ không bằng $\Delta LKM$.

Trên hình $104$ ta có $AB//CD, AC//BD.$ Hãy chứng minh rằng: $AB=CD;AC=BD.$

Hình 104

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

- Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra cặp góc so le trong bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Vẽ đoạn thẳng $AD.$ 

Vì $AB//CD$ suy ra $\widehat{A_{1}}= \widehat{D_{1}}$ (hai góc so le trong)

Vì $AC//BD$ suy ra $\widehat{A_{2}}=\widehat{D_{2}}$ (hai góc so le trong)

Xét $∆ADB$ và $∆DAC$ có:

+) $\widehat{A_{1}}= \widehat{D_{1}}$ (chứng minh trên)

+) $AD$ cạnh chung

+) $\widehat{A_{2}}=\widehat{D_{2}}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ∆ADB=∆DAC$ (g.c .g)

$\Rightarrow  AB=CD, BD=AC$ (các cạnh tương ứng)

Trên mỗi hình 105, 106, 107, 108 các tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Phương pháp giải:

- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

- Nếu hai cạnh và một góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và một góc xen giữa của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

- Hệ quả: Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông nay bằng cạnh huyền, góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Hình 105 

Xét $∆ABH$ và $∆ACH$ có:

+) $BH=CH$ (giả thiết)

+) $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o$

+) $AH$ cạnh chung

$\Rightarrow ∆ABH=∆ACH$ (c.g.c)

Hình 106

Xét $∆DKE$ và $∆DKF$ có: 

+) $\widehat{EDK}=\widehat{FDK}$ (giả thiết)

+) $DK$ cạnh chung

+) $\widehat{DKE}=\widehat{DKF}=90^o$

$\Rightarrow ∆DKE=∆DKF$ (g.c.g)

Hình 107

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào $∆ABD$ và $∆ACD$ ta có:

$\eqalign{ & \widehat {ABD} + \widehat {BDA} + \widehat {DAB} = {180^0}\;\;(1) \cr & \widehat {ACD} + \widehat {CDA} + \widehat {DAC} = {180^0} \;\;(2)\cr}$

Mặt khác ta có: 

$\eqalign{ & \widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết)\;\;(3) \cr & \widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^0}\;\;(4) \cr}$

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra $\widehat {BDA} = \widehat {CDA}$

Xét $∆ABD$ và $∆ACD$ có:

+) $\widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết)$

+) $AD$ cạnh chung

+) $\widehat {BDA} = \widehat {CDA}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ∆ABD=∆ACD$ (g.c.g)

Cách khác: 

Xét $∆ABD$ vuông tại B và $∆ACD$ vuông tại C, ta có: 

+) $\widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết)$

+) $AD$ cạnh chung

$\Rightarrow ∆ABD=∆ACD$ (cạnh huyền-góc nhọn)

Hình 108

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào $∆ABD$ và $∆ACD$ ta có:

$\eqalign{ & \widehat {ABD} + \widehat {BDA} + \widehat {DAB} = {180^0} \;\;(5)\cr  & \widehat {ACD} + \widehat {CDA} + \widehat {DAC} = {180^0}\;\;(6) \cr}$

Mặt khác ta có: 

$\eqalign{ & \widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết) \;\;(7)\cr  & \widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^0}\;\;(8) \cr}$

Từ (5), (6), (7), (8) suy ra $\widehat {BDA} = \widehat {CDA}$

Xét $∆ABD$ và $∆ACD$ có:

+) $\widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết)$ 

+) $AD$ cạnh chung

+) $\widehat {BDA} = \widehat {CDA}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ∆ABD=∆ACD$ (g.c.g)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng )

$\Rightarrow AB=AC$ (hai cạnh tương ứng )

(Hoặc ta có thể chứng minh $∆ABD=∆ACD$ giống như cách khác của hình 107) 

Xét $∆DBE$ và $∆DCH$ 

+) $\widehat {EBD} = \widehat {HCD} = {90^0}$ 

+) $BD=CD$ (chứng minh trên)

+) $\widehat {BDE} = \widehat {CDH}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow ∆DBE=∆DCH$ (g.c.g)

$\Rightarrow DE=DH$ (hai cạnh tương ứng)

Xét  $∆ABH$  và $∆ACE$ 

+) $\widehat A$ chung

+) $AB=AC$ (chứng minh trên)

+) $\widehat {ABH} = \widehat {ACE} = {90^0}$

$\Rightarrow ∆ABH=∆ACE$ (g.c.g)

$\Rightarrow AH=AE$ (hai cạnh tương ứng)

Xét  $∆ADE$  và $∆ADH$ 

+) Cạnh $AD$ chung

+) $AE=AH$ (chứng minh trên)

+) $DE=DH$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ∆ADE=∆ADH$ (c.c.c)

Cho tam giác $ABC\; (AB ≠ AC)$, tia $Ax$ đi qua trung điểm $M$ của $BC.$ 

Kẻ $BE$ và $CF$ vuông góc với $Ax \;(E  ∈ Ax, F∈ Ax )$. So sánh độ dài $BE$ và $CF$.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ quả: Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông nay bằng cạnh huyền, góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Tam giác $BME$ vuông tại $E$

Tam giác $CMF$ vuông tại $F$. 

Xét hai tam giác vuông $BME$ và $CMF$ có:

+) $BM = CM$ (vì $M$ là trung điểm $BC$)

+) $\widehat{BME}=\widehat{CMF}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow ∆BME = ∆CMF$ (cạnh huyền - góc nhọn).

$\Rightarrow BE=CF$ (hai cạnh tương ứng).

Cho tam giác $ABC$, các tia phân giác của các góc $B$ và $C$ cắt nhau ở $I$. Vẽ $ID$ $\perp$ $AB$ ($D\in AB$), $IE$ $\perp$ $BC$ ($E\in BC$ ), $IF\bot AC$ ($F\in AC$)

CMR: $ID=IE=IF$.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ quả: Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông nay bằng cạnh huyền, góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Tam giác $BID$ vuông tại $D$. 

Tam giác $BIE$ vuông tại $E$.

Xét hai tam giác vuông $BID$ và $BIE$ có:

+) $BI$ là cạnh chung

+) $\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}}$ ( vì $BI$ là phân giác góc $B$)

$\Rightarrow ∆BID=∆BIE$  (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow ID=IE$ (hai cạnh tương ứng)        (1)

Tam giác $CIF$ vuông tại $F$.

Tam giác $CIE$ vuông tại $E$.

Xét hai tam giác vuông $CIF$ và $CIE$ có:

+) $CI$ cạnh chung

+) $\widehat{C_{1}}=\widehat{C_{2}}$ ( vì $CI$ là phân giác góc $C$)

$\Rightarrow ∆CIF=∆CIE$ (cạnh huyền - góc nhọn).

$\Rightarrow IE =IF$ (hai cạnh tương ứng)      (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $ID=IE=IF$.

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}= 90^o$ (h.109), kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ $(H∈BC).$ Các tam giác $AHC$ và $BAC$ có $AC$ là cạnh chung, $\widehat C$ là góc chung,  $\widehat{AHC}=\widehat{BAC}= 90^o$, nhưng hai tam giác không bằng nhau. Tại sao ở đây không áp dụng trường hợp góc cạnh góc để kết luận $∆AHC= ∆BAC?$ 

Phương pháp giải:

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Xét $∆AHC$ và $∆BAC$ có:

+) $AC$ là cạnh chung 

+) $\widehat{C}$ là góc chung

+) $\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^o$    

Nhưng hai tam giác không bằng nhau vì $\widehat{AHC}$ không phải là góc kề với cạnh $AC$ nên ta không thể suy ra hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc.

Cho góc $xOy$ khác góc bẹt. Lấy các điểm $A,B$ thuộc tia $Ox$ sao cho \(OA

Lấy các điểm $C, D$ thuộc tia $Oy$ sao cho $OC = OA, OD = OB.$ Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $BC.$

Chứng minh rằng:

a) $AD = BC$;

b) $∆EAB = ∆ECD$;

c ) $OE$ là tia phân giác của góc $xOy.$

Phương pháp giải:

a) Nếu hai cạnh và một góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và một góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

b) Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

c) Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

a) Xét $∆OAD$ và $∆OCB$ có:

+) $OA = OC$ (giả thiết)

+) $\widehat{O}$ chung

+) $OD = OB$ (giả thiết)

$\Rightarrow  ∆OAD = ∆OCB$ (c.g.c)

$\Rightarrow  AD = BC$ (hai cạnh tương ứng).

b) $∆OAD = ∆OCB$ (chứng minh câu a) 

$\Rightarrow \widehat{D_1}= \widehat{B_1}$; $\widehat{A _{2}}= \widehat{ C _{2}}$ (các góc tương ứng)

Mặt khác:

$\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {180^0}$ (Hai góc kề bù)

$\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = {180^0}$ (Hai góc kề bù)

Do đó $\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}=\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}$

Mà $\widehat{A _{2}} = \widehat{ C _{2}}$ nên $\widehat{A _{1}} = \widehat{ C _{1}}$

$AB = OB - OA$                  (1)

$CD = OD - OC$                (2)

$OC = OA, OD = OB$  (giả thiết)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AB = CD.$

Xét $∆EAB$ và  $∆ECD$ có:

+) $\widehat{A _{1}} = \widehat{ C _{1}}$ (chứng minh trên) 

+) $AB = CD$ (chứng minh trên) 

+) $\widehat{B_1} = \widehat{D_1}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ∆EAB =  ∆ECD$ (g.c.g)

c) $∆EAB =  ∆ECD$ (chứng minh câu b)

$\Rightarrow  EA = EC$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $∆OAE$ và $∆OCE$ có:

+) $OA=OC$ (giả thiết)

+) $EA=EC$ (chứng minh trên)

+) $OE$ cạnh chung

$\Rightarrow  ∆OAE = ∆OCE$ (c .c.c)

$\Rightarrow \widehat{ AOE} = \widehat{ C OE}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $OE$ là tia phân giác của góc $xOy.$

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ B} = \widehat{ C}$. Tia phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D.$

Chứng minh rằng.

a)  $∆ADB = ∆ADC.$

b) $AB = AC.$

Phương pháp giải:

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ ta có: 

$\begin{gathered} \widehat B + \widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}} = {180^o}\,\,\,(1) \hfill \\ \widehat C + \widehat {{A_2}} + \widehat {{D_2}} = {180^o}\,\,\,(2) \hfill \\ \end{gathered}$

$\widehat{ B} = \widehat{ C}$ (giả thiết)   (3)

$\widehat{ A_{1}}= \widehat{ A_{2}}$ (vì $AD$ là tia phân giác góc $A$)   (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra $\widehat{ D_{1}} = \widehat{ D_{2}}$

Xét $∆ADB$ và $∆ ADC$ có: 

+) $\widehat{ A_{1}}= \widehat{ A_{2}}$ (chứng minh trên) 

+) $AD$ cạnh chung

+) $\widehat{ D_{1}} = \widehat{ D_{2}}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow  ∆ADB = ∆ADC$ (g.c.g)

b) $∆ADB = ∆ADC$ (chứng minh câu a)

$\Rightarrow  AB=AC$ (hai cạnh tương ứng).

Đố: Cho $4$ đoạn thẳng $AB,BC,CD,DA$ trên giấy kẻ ô vuông như ở hình 110. Hãy lập luận để giải thích:

a) $AB=CD, BC=AD$;

b) $AB//CD.$

Phương pháp giải:

Áp dụng ba trường hợp bằng nhau của tam giác.

Hướng dẫn giải:

Xét $∆AHB$ và $∆ CKD$ có: 

+) $HB=KD (= 1)$

+) $\widehat{ AHB}=\widehat{ CKD}=90^o$

+) $AH=CK(=3)$

$\Rightarrow  ∆ AHB = ∆  CKD$ (c.g.c)

$\Rightarrow AB=CD$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $∆ CEB$ và $∆ AFD$ có:

+) $CE=AF(=4)$

+) $\widehat {CEB} = \widehat {AFD}\left( { = {{90}^o}} \right)$

+) $EB=FD(=2)$

$\Rightarrow  ∆ CEB = ∆ AFD$ (c.g.c)

$\Rightarrow  BC = AD$ (hai cạnh tương ứng).

b) Xét $∆ABD$ và $∆CDB$  có:

+) $AB = CD$ (chứng minh trên)

+) $BC = AD$ (chứng minh trên)

+) $BD$ chung.

$\Rightarrow ∆ABD = ∆CDB$ (c.c .c)

$\Rightarrow \widehat{ ABD} = \widehat{ CDB}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{ ABD}$ và $\widehat{ CDB}$ ở vị trí so le trong nên $AB // CD.$