Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Cho tam giác \(DEF\), điểm \(I\) nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của nó. Chứng minh \(I\) là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác \(DEF.\)

Hướng dẫn giải

Từ điểm \(I\) ta kẻ \(IA ⊥ DE; IB ⊥ EF\) và \(IC ⊥ DF.\)

- Vì điểm \(I\) cách đều hai cạnh \(DE\) và \(DF\) nên \(I\) nằm trên đường phân giác của góc \(EDF\) (định lí 2 - định lí đảo của tia phân giác một góc)

- Vì điểm \(I\) cách đều hai cạnh \(FD\) và \(FE\) nên \(I\) nằm trên đường phân giác của góc \(EFD\) (định lí 2 - định lí đảo của tia phân giác một góc)

- Vì điểm \(I\) cách đều hai cạnh \(EF\) và \(ED\) nên \(I\) nằm trên đường phân giác của góc \(DEF\) (định lí 2 - định lí đảo của tia phân giác một góc)

Vậy \(I\) là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác \(DEF.\)

Nêu cách vẽ điểm \(K\) ở trong tam giác \(MNP\) mà các khoảng cách từ \(K\) đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau. Vẽ hình minh họa.

Hướng dẫn giải

- Cách vẽ: Vẽ tia phân giác \(MS\) của góc \(M\), tia phân giác \(NQ\) của góc \(N\). Giao điểm của hai tia phân giác chính là điểm \(K\) cần vẽ.

- Chứng minh:

Vì \(K\) là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác \(MNP\) nên \(K\) là giao của ba đường phân giác của tam giác \(MNP\).

Do đó \(K\) cách đều ba cạnh của tam giác \(MNP\) (Theo định lí tính chất của ba đường phân giác trong tam giác).

Cho hình 38.

a) Tính góc \(KOL\).

b) Kẻ tia \(IO\), hãy tính góc \(KIO\).

c) Điểm \(O\) có cách đều ba cạnh của tam giác \(IKL\) không? Tại sao?

Hướng dẫn giải

Câu a:

\(∆KIL\) có \(\widehat{I} + \widehat{IKL}+ \widehat{ILK} =180^o\) (Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác) 

Mà \(\widehat{I} =62^o\)  nên \(\widehat{IKL}+ \widehat{ILK} = 180^o - 62^o = 118^o \) 

Vì \(KO\) và \(LO\) lần lượt là phân giác  \(\widehat{IKL}\), \(\widehat{ILK}\) nên \(\widehat {OKL} = \dfrac{1}{2}\widehat {IKL},\,\,\widehat {OLK} = \dfrac{1}{2}\widehat {ILK}\)

Suy ra \(\widehat{OKL}+ \widehat{OLK}= \dfrac{1}{2}(\widehat{IKL}+ \widehat{ILK})\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{OKL}+ \widehat{OLK} = \dfrac{1}{2}. 118^o\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{OKL}+ \widehat{OLK} = 59^o\) 

\(∆KOL\) có \(\widehat{OKL}+ \widehat{OLK} + \widehat{KOL} =180^o \) (Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Mà \(\widehat{OKL}+ \widehat{OLK} = 59^o\)  nên \(\widehat{KOL} = 180^o -59^o = 121^o\) 

Câu b:

\(ΔKIL\) có \(O\) là giao điểm của hai đường phân giác \(KO\) và \(LO\) nên \(IO\) là đường phân giác của góc \(KIL\) (định lí ba đường phân giác cùng đi qua một điểm).

Do đó: \( \widehat{KIO} = \dfrac{\widehat{KIL}}{2}= \dfrac{62^0}{2} = 31^o\)

Câu c:

Vì \(O\) là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác \(IKL\) nên \(O\) cách đều ba cạnh của tam giác \(IKL\). (Theo định lí về tính chất của ba đường phân giác trong tam giác)

Cho hình \(39.\)

a) Chứng minh \(∆ABD = ∆ACD.\)

b) So sánh góc \(DBC\) với góc \(DCB.\)

Hướng dẫn giải

Câu a:

Xét \(∆ABD\) và \(∆ACD\) ta có:

\(AB = AC\) (giả thiết) 

\(\widehat{BAD}= \widehat{CAD}\) (giả thiết) 

\(AD\) cạnh chung

Vậy \(∆ABD = ∆ACD\) (c.g.c) 

Câu b:

Vì \(∆ABD = ∆ACD\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  BD = CD \) ( \(2\) cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow   ∆BCD\) cân tại \(D\)

\( \Rightarrow \)  \(\widehat{DBC}= \widehat{DCB}\) ( tính chất tam giác cân) (điều phải chứng minh).

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Gọi \(G\) là trọng tâm, \(I\) là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm \(A, G, I\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Gọi M, N là trung điểm CA và BA.

ΔABC cân tại A có BM, CN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC, AB.

⇒ BM = CN ( chứng minh ở bài 26)

Mà \(GB = \frac{2}{3}BM;\,\,\,GC = \frac{2}{3}CN\) (Tính chất trọng tâm của tam giác)

⇒ GB = GC

- ΔAGB và ΔAGC có

AG chung

AB = AC (do ΔABC cân tại A)

GB = GC (chứng minh trên)

⇒ ΔAGB = ΔAGC (c.c.c)

\( \Rightarrow \widehat {BAG} = \widehat {CAG}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow G\) thuộc tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)

- Theo đề bài I cách đều ba cạnh của tam giác

Dựa vào chứng minh bài 36 ⇒ I là điểm chung của ba đường phân giác

⇒ I thuộc tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)

Vì G, I cùng thuộc tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên A, G, I thẳng hàng

Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Giả sử \(∆ABC\) đều có trọng tâm \(G\). Các điểm \(E, N, M\) lần lượt là trung điểm của \(AB, BC, AC.\)

Áp dụng kết quả của bài 40: Tam giác ABC cân thì Trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên tia phân phân giác của góc BAC.

Do đó G cách đều hai cạnh AB và AC.

Vì tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân tại 3 đỉnh A, B, C.

Xét tam giác ABC cân tại B có G là trọng tâm thì G cũng nằm trên tia phân giác của góc ABC.

Suy ra G cách đều hai cạnh AB và BC.

Vậy G cánh đều ba cạnh của tam giác ABC.

Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Phương pháp giải

Trong \(∆ABC\), nếu \(AD\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài \(AD\) một đoạn \(D{A_1}\) sao cho \(D{A_1}= AD.\)

Gọi \(AD\) là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của góc \(A\) trong \(ΔABC.\)  Ta chứng minh  \(∆ABC\) cân tại \(A.\)

Kéo dài \(AD\) một đoạn \(D{A_1}= AD.\)

Xét \(∆ADC\) và \(∆{A_1}DB\) ta có:

\(DC = DB\) (do \(AD\) là trung tuyến)

\({ \widehat{D}}_1 = {\widehat{D}}_2 \) (\(2\) góc đối đỉnh)

\(AD = D{A_1}\) (do cách vẽ)

Vậy \(∆ADC =  ∆{A_1}DB\) (c.g.c)

\(\Rightarrow AC = {A_1}B\)         (1)

và \(\widehat{DAC}= \widehat{DA_1B}\)

Mà \(\widehat{BAD}= \widehat{DAC}\) (Vì \(AD\) là phân giác)

\(\Rightarrow \) \(\widehat{BAD}=\widehat{DA_1B}\)

Xét tam giác \(AB{A_1}\) có \( \widehat{DA_1B} = \widehat{BAD}\)

Vậy tam giác \(AB{A_1}\) cân tại \(B\) 

\(\Rightarrow AB = {A_1}B\)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AB = AC\).

Vậy \(∆ABC\) cân tại \(A.\)

Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Đố: Có hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tại hai điểm khác nhau (h. \(40\)).

Hãy tìm một địa điểm để xây dựng một đài quan sát sao cho khoảng cách từ đó đến hai con đường và đến bờ sông bằng nhau. Có tất cả mấy địa điểm như vậy? 

Hướng dẫn giải

Hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tạo thành tam giác ABC.

Vì khoảng cách từ điểm cần xây đến hai con đường và bờ sông là như nhau nên địa điểm để xây dựng đài quan sát thỏa mãn đề bài có thể là

- TH1: Giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC.

- TH2: Giao điểm M của hai tia phân giác ngoài và một tia phân giác trong. Ta có ba điểm M như vậy.

Vậy có tất cả 4 điểm có thể xây dựng đài quan sát thỏa mãn điều kiện.