Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 6: Lũy thừa của một số hữu tỉ (tiếp theo)

Trong vở bài tập của bạn Dũng có bài làm sau

b) $(0,75)^{3}:(0,75)=(0,75)^{2}$

c) $(0,2)^{10}:(0,2)^{5}=(0,2)^{2}$

d) ${\left[ {{{\left( { - \dfrac{1}{7}} \right)}^2}} \right]^4} = {\left( { - \dfrac{1}{7}} \right)^6}$

e) $\dfrac{50^{3}}{125} = \dfrac{50^{3}}{5^{3}} ={\left( {\dfrac{{50}}{5}} \right)^3}= 10^{3}= 1000$

f) $\dfrac{{{8^{10}}}}{{{4^8}}} = {\left( {\dfrac{8}{4}} \right)^{10 - 8}} = {2^2}$

Hãy kiểm tra lại các đáp số và sửa lại chỗ sai ( nếu có)

Phương pháp giải

Sử dụng

$\begin{array}{l} {x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\\ {x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\left( {x \ne 0,m \ge n} \right) \end{array}$

Hướng dẫn giải

Các câu đúng: b, e 

Các câu sai: a, c, d, f.

Ta sửa lại như sau

Câu a: $(-5)^{2}.(-5)^{3}=(-5)^{2+3} =(-5)^{5}$

Câu c: $(0,2)^{10}:(0,2)^{5}=(0,2)^{10-5}=(0,2)^{5}$

Câu d: ${\left[ {{{\left( { - \dfrac{1}{7}} \right)}^2}} \right]^4} = {\left( { - \dfrac{1}{7}} \right)^{2.4}} = {\left( { - \dfrac{1}{7}} \right)^8}$

Câu f: $\dfrac{{{8^{10}}}}{{{4^8}}} = \dfrac{{{8^2}{{.8}^8}}}{{{4^8}}} = {8^2}.{\left( {\dfrac{8}{4}} \right)^8} = {\left( {{2^3}} \right)^2}{.2^8}$

$= {2^{3.2}}{.2^8} = {2^6}{.2^8} = {2^{6 + 8}} = {2^{14}}$

Ta thừa nhận tính chất sau đây: Với $a \ne 0,a \ne  \pm 1$ nếu $a^{m}=a^{n}$ thì $m = n.$  Dựa vào tính chất này, hãy tìm các số tự nhiên $m$ và $n$, biết

$\begin{gathered} a)\,\,{\left( {\frac{1}{2}} \right)^m} = \frac{1}{{32}} \hfill \\ b)\,\,\,\frac{{343}}{{125}} = {\left( {\frac{7}{5}} \right)^n} \hfill \\ \end{gathered}$

Phương pháp giải

Áp dụng công thức:${\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\,\,\left( {y \ne 0} \right)$

Hướng dẫn giải

$\eqalign{ & a)\,\,{\left( {{1 \over 2}} \right)^m} = {1 \over {32}} \Rightarrow {\left( {{1 \over 2}} \right)^m} = {1 \over {{2^5}}} \cr & \Rightarrow {\left( {{1 \over 2}} \right)^m} = {\left( {{1 \over 2}} \right)^5} \Rightarrow m = 5 \cr & b)\,\,\,{{343} \over {125}} = {\left( {{7 \over 5}} \right)^n} \Rightarrow {{{7^3}} \over {{5^3}}} = {\left( {{7 \over 5}} \right)^n} \cr & \Rightarrow {\left( {{7 \over 5}} \right)^3} = {\left( {{7 \over 5}} \right)^n} \Rightarrow n = 3 \cr}$

Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ                          

a) $10^{8}.2^{8}$

b) $10^{8}:2^{8}$

c) $25^{4}.2^{8}$

d) $15^{8}.9^{4}$

e) $27^{2}:25^{3}$

Phương pháp giải

Chú ý các công thức sau

$\begin{array}{l} {\left( {x.y} \right)^n} = {x^n}.{y^n}\\ {\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\,\,\left( {y \ne 0} \right) \end{array}$

$(x^m)^n=x^{m.n}$

Hướng dẫn giải

a) $10^{8}.2^{8}=(10.2)^{8}=20^{8}$

b) $10^{8}:2^{8} = (10:2)^{8}=5^{8}$

c) $25^{4}.2^{8} = (5^{2})^{4}.2^{8}=5^{2.4}.2^{8}$$=5^{8}.2^{8}=(5.2)^8=10^{8}$

d) $15^{8}.9^{4} = 15^{8}.(3^{2})^{4}=15^{8}.3^{2.4}$$=15^{8}.3^{8}=(15.3)^{8}=45^{8}$

e) $27^{2}:25^{3} = (3^{3})^{2} : (5^{2})^{3} = 3^{3.2} : 5^{2.3}$$= 3^{6} : 5^{6}= {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^6}$ 

Tìm giá trị của biểu thức sau

a) $\dfrac{4^{2}.4^{3}}{2^{10}}$  

b) $\dfrac{(0,6)^{5}}{(0,2)^{6}}$

c) $\dfrac{2^{7}. 9^{3}}{6^{5}.8^{2}}$

d) $\dfrac{6^{3} + 3.6^{2}+ 3^{3}}{-13}$

Phương pháp giải

Áp dụng các công thức sau

$\begin{array}{l} {\left( {x.y} \right)^n} = {x^n}.{y^n}\\ {\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\,\,\left( {y \ne 0} \right) \end{array}$

${\left( {{x^n}} \right)^m} = {x^{n.m}}$

Hướng dẫn giải

Câu a: $\dfrac{4^{2}.4^{3}}{2^{10}}= \dfrac{4^{2+3}}{2^{2.5}}$$= \dfrac{4^{5}}{(2^{2})^{5}}=\dfrac{4^{5}}{4^{5}}= 1$

Câu b: $\dfrac{(0,6)^{5}}{(0,2)^{6}} = \dfrac{(0,2.3)^{5}}{(0,2)^{5+1}} = \dfrac{(0,2)^{5}.3^{5}}{(0,2)^{5}.0,2}$

$= \dfrac{3^{5}}{0,2} = \dfrac{243}{0,2}= 1215$

Câu c: $\dfrac{{{2^7}{{.9}^3}}}{{{6^5}{{.8}^2}}} = \dfrac{{{2^7}.{{\left( {{3^2}} \right)}^3}}}{{{{\left( {2.3} \right)}^5}.{{\left( {{2^3}} \right)}^2}}}$$= \dfrac{{{2^7}{{.3}^{2.3}}}}{{{2^5}{{.3}^5}{{.2}^{3.2}}}} = \dfrac{{{2^7}{{.3}^6}}}{{{2^5}{{.3}^5}{{.2}^6}}}$

$= \dfrac{{{2^7}{{.3}^6}}}{{{2^{11}}{{.3}^5}}} = \dfrac{3}{{{2^4}}} = \dfrac{3}{{16}}$

(Áp dụng công thức: ${\left( {{x^n}} \right)^m} = {x^{n.m}};\,\,{\left( {x.y} \right)^n} = {x^n}.{y^n}$)

Câu d

$\eqalign{ & \,\,{{{6^3} + {{3.6}^2} + {3^3}} \over { - 13}}\cr& = {{{{\left( {2.3} \right)}^3} + 3.{{\left( {2.3} \right)}^2} + {3^3}} \over { - 13}} \cr & = {{{2^3}{{.3}^3} + {3^3}{{.2}^2} + {3^3}} \over { - 13}} \cr&= {{{3^3}.({2^3} + {2^2} + 1)} \over { - 13}} \cr & = {{{3^3}.13} \over { - 13}} = {{{3^3}} \over { - 1}} = - 27 \cr}$

a) Viết các số $2^{27}$ và $3^{18}$ dưới dạng các lũy thừa có số mũ là $9$   

b) Trong hai số $2^{27}$ và $3^{18}$, số nào lớn hơn?

Phương pháp giải

Áp dụng công thức : ${\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}$

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: $2^{27}=(2^{3})^{9}=8^{9}$

$3^{18}=(3^{2})^{9}=9^{9}$ 

Câu b: Vì $8 < 9$ nên $8^{9}<9^{9}$

Vậy theo câu a, ta được   $2^{27} < 3^{18}$

Cho $x ∈\mathbb Q$, và $x ≠ 0.$ Viết ${x^{10}}$ dưới dạng

a) Tích của hai lũy thừa trong đó có một thừa số là ${x^{7}}$

b) Lũy thừa của ${x^{2}}$

c) Thương của hai lũy thừa trong đó số bị chia là ${x^{12}}$

Phương pháp giải

Ta áp dụng các công thức sau

$\begin{array}{l} {\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\\ {x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\\ {x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\left( {x \ne 0,m \ge n} \right) \end{array}$

Hướng dẫn giải

Câu a: ${x^{10}} ={x^{7+3}}= {x^7}.{x^3}$

Câu b: ${x^{10}} ={x^{2.5}}= {({x^2})^5}$

Câu c: ${x^{10}} ={x^{12-2}}= {x^{12}}:{x^2}$

a) ${\left( {\dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{2}} \right)^2}$ 

b)  ${\left( {\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6}} \right)^2}$

c) $\dfrac{{{5^4}{{.20}^4}}}{{{{25}^5}{{.4}^5}}}$

d) ${\left( {\dfrac{{ - 10}}{3}} \right)^5}.{\left( {\dfrac{{ - 6}}{5}} \right)^4}$

Phương pháp giải

Ta sử dụng các công thức sau

${\left( {x.y} \right)^n} = {x^n}.{y^n}$

${x^n} = \underbrace {x.x.x...x}_{n\,\,\,thừa\,\,số}\left( {x \in Q,n \in N,n > 1} \right)$

${\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\,\,\left( {y \ne 0} \right)$

Hướng dẫn giải

Câu a: ${\left( {\dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{6}{{14}} + \dfrac{7}{{14}}} \right)^2}$$\,= {\left( {\dfrac{{13}}{{14}}} \right)^2}= \dfrac{{169}}{{196}}$     

Câu b: ${\left( {\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{9}{{12}} - \dfrac{{10}}{{12}}} \right)^2}$$\, = {\left( {\dfrac{{ - 1}}{{12}}} \right)^2} = \dfrac{1}{{144}}$

Câu c: $\dfrac{{{5^4}{{.20}^4}}}{{{{25}^5}{{.4}^5}}} = \dfrac{{{{\left( {5.20} \right)}^4}}}{{{{\left( {25.4} \right)}^5}}} = \dfrac{{{{100}^4}}}{{{{100}^5}}} = \dfrac{1}{{100}}$

Câu d

$\begin{array}{l} {\left( {\dfrac{{ - 10}}{3}} \right)^5}.{\left( {\dfrac{{ - 6}}{5}} \right)^4}\\ = \left( {\dfrac{{ - 10}}{3}} \right).{\left( {\dfrac{{ - 10}}{3}} \right)^4}.{\left( {\dfrac{{ - 6}}{5}} \right)^4}\\ = \dfrac{{ - 10}}{3}.{\left[ {\left( {\dfrac{{ - 10}}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - 6}}{5}} \right)} \right]^4}\\ = \dfrac{{ - 10}}{3}.{\left[ {\dfrac{{ - 10.\left( { - 6} \right)}}{{3.5}}} \right]^4}\\ = \dfrac{{ - 10}}{3}.{\left( {\dfrac{{60}}{{15}}} \right)^4}\\ = \dfrac{{ - 10}}{3}{.4^4}\\ = \dfrac{{ - 10}}{3}.256 = \dfrac{{ - 2560}}{3} \end{array}$

Tính

a) $\left( {1 + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}} \right).{\left( {\dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{4}} \right)^2}$

b) $2:{\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3}} \right)^3}$

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc

- Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ.

- Lũy thừa của một số hữu tỉ.

Hướng dẫn giải

Câu a

$\begin{array}{l} \left( {1 + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}} \right).{\left( {\dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{4}} \right)^2} \\= \left( {\dfrac{{12}}{{12}} + \dfrac{8}{{12}} - \dfrac{3}{{12}}} \right).{\left( {\dfrac{{16}}{{20}} - \dfrac{{15}}{{20}}} \right)^2}\\  = \dfrac{{17}}{{12}}.{\left( {\dfrac{1}{{20}}} \right)^2} =\dfrac{{17}}{{12}}.\dfrac{{{1^2}}}{{{{20}^2}}}\\ = \dfrac{{17}}{{12}}.\dfrac{1}{{400}} = \dfrac{{17}}{{4800}} \end{array}$

Câu b

$2:{\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3}} \right)^3} = 2:{\left( {\dfrac{3}{6} - \dfrac{4}{6}} \right)^3}$

$= 2:{\left( { - \dfrac{1}{6}} \right)^3} = 2:\left( { - \dfrac{1}{{216}}} \right)$

$=  2.(-216) =  - 432$

Tìm số tự nhiên $n$, biết

a) $\dfrac{{16}}{{{2^n}}} = 2$

b) $\dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}{{81}} =  - 27$

c) ${8^n}:{2^n} = 4$

Phương pháp giải

Áp dụng công thức

${x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}$   ($x ∈\mathbb Q, m,n ∈\mathbb N$)

${x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}$   ($x ≠ 0, m ≥ n$)

${x^n} = {x^m} \Rightarrow n = m$ (với $x\ne 0, x\ne \pm 1$)

Hướng dẫn giải

Câu a

$\begin{array}{l} \dfrac{{16}}{{{2^n}}} = 2\\ \dfrac{{{2^4}}}{{{2^n}}} = 2\\ {2^{4 - n}} = 2\\{2^{4 - n}}=2^1\\  \Rightarrow4 - n = 1\\\;\;\;\;n=4-1\\ \;\;\;\;n = 3 \end{array}$ 

Câu b

$\begin{array}{l} \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}{{81}} =  - 27\\ \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^4}}} = {\left( { - 3} \right)^3}\\ {\left( { - 3} \right)^{n - 4}} = {\left( { - 3} \right)^3}\\  \Rightarrow n - 4 = 3\\\;\;\;\;n=4+3\\ \;\;\;\;n = 7 \end{array}$ 

Câu c

 $\begin{array}{l} {8^n}:{2^n} = 4\\{(8:2)^n} = 4\\ {4^n} = 4\\{4^n} = 4^1\\  \Rightarrow n = 1 \end{array}$

Đố: Biết rằng ${1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {10^2} = 385$,

đố em tính nhanh được tổng $S = {2^2} + {4^2} + {6^2} + ... + {20^2}.$

Phương pháp giải

Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa.                                

$(x.y)^{n}=x^{n}.y^{n}$

Hướng dẫn giải

$\eqalign{ & S = {2^2} + {4^2} + {6^2} + ... + {20^2} \cr & S = {\left( {2.1} \right)^2} + {\left( {2.2} \right)^2} + {\left( {2.3} \right)^2} + ... + {\left( {2.10} \right)^2} \cr & S = {2^2}{.1^2} + {2^2}{.2^2} + {2^2}{.3^2} + ... + {2^2}{.10^2} \cr & S = {2^2}.\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {{10}^2}} \right) \cr & S = {2^2}.385 = 4.385 = 1540 \cr}$