Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác

Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác. Trong các trường hợp còn lại, hãy thử dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế:

a) \(2\,cm, 3\,cm, 6\,cm.\)

b) \(2\,cm, 4\,cm, 6\,cm.\)

c) \(3\,cm, 4\,cm, 6\,cm.\)

Hướng dẫn giải

Câu a:

Ta có \(6-3=3>2\), do đó ba độ dài \(2\,cm, 3\,cm, 6\,cm\) không là ba cạnh của tam giác.

Câu b:

Vì \(6 = 2 + 4\) nên ba độ dài là \(2\,cm, 4\,cm, 6\,cm\) không là ba cạnh của một tam giác.

Câu c:

Ta có: \(4 - 3 < 6 < 4 + 3\), do đó ba độ dài \(3\,cm, 4\,cm, 6\,cm\) là ba cạnh của một tam giác. 

Cách dựng tam giác có ba độ dài 3cm, 4cm, 6cm 

- Vẽ BC = 6cm

- Dựng đường tròn tâm B bán kính 3cm; đường tròn tâm C bán kính 4cm. Hai đường tròn cắt nhau tại A.

- Nối AB, AC ta được tam giác cần dựng.

Cho tam giác \(ABC\) với hai cạnh \(BC = 1\,cm, AC = 7\,cm\). Hãy tìm độ dài cạnh \(AB\), biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm). Tam giác \(ABC\) là tam giác gì?

Hướng dẫn giải

Trong tam giác \(ABC\), theo bất đẳng thức tam giác  ta có:

\( AC - BC < AB < AC + BC\)

Thay độ dài \(BC = 1\,cm, AC = 7\,cm\) ta được: 

\(7 - 1 < AB < 7 + 1\)

\(6 < AB < 8\)        (1)

Vì độ dài \(AB\) là một số nguyên thỏa mãn (1) nên \(AB = 7\,cm.\)

Do đó \(∆ABC\) cân tại \(A\) vì \(AB = AC = 7\,cm.\)

Cho tam giác \(ABC\) và \(M\) là một điểm nằm trong tam giác. Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BM\) và cạnh \(AC\).

a) So sánh \(MA\) với \(MI + IA\), từ đó chứng minh \(MA + MB < IB + IA.\)

b) So sánh \(IB\) với \(IC + CB\), từ đó chứng minh \(IB + IA < CA + CB\).

c) Chứng minh bất đẳng thức \(MA + MB < CA + CB.\)

Hướng dẫn giải

Câu a:

\( M\) nằm trong tam giác \(ABC\) nên ba điểm \(A, M, I\) không thẳng hàng. 

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào \(∆AMI\) ta có:

\(MA < MI + IA\)        (1)

Cộng \(MB\) vào hai vế của (1) ta được:

\(MA + MB < MB + MI + IA\)

Mà \(MB + MI = IB\)

\(\Rightarrow  MA + MB < IB + IA\) (điều phải chứng minh).

Câu b:

Ba điểm \(B, I, C\) không thẳng hàng.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào \(∆BIC\) ta có:

\(IB < IC + BC\)       (2).

Cộng \(IA\) vào hai vế của (2) ta được:

\(IB + IA < IA + IC + BC\)

Mà \(IA + IC = AC\)

\(\Rightarrow IB + IA < AC + BC\) (điều phải chứng minh).

Câu c:

Vì \(MA + MB < IB + IA\) (chứng minh trên)

\(IB + IA < AC + BC\) (chứng minh trên)

Suy ra \(MA + MB < CA + CB\) (điều phải chứng minh).

Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) \(2\,cm; 3\,cm; 4\,cm\)

b) \(1\,cm; 2\,cm; 3,5\,cm\)

c) \(2,2\,cm; 2\,cm;  4,2\,cm\)

Hãy vẽ tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là một trong các bộ ba ở trên (nếu vẽ được). Trong trường hợp không vẽ được, hãy giải thích.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Ba độ dài \(2\,cm, 3\,cm, 4\,cm\) thỏa mãn bất đẳng thức: \(3 - 2 < 4 < 3 + 2\) nên chúng là ba cạnh của tam giác.

Dựng tam giác có độ dài ba cạnh là \(2\,cm, 3\,cm, 4\,cm\)

- Vẽ \(BC = 4\,cm\)

- Dựng cung tròn tâm \(B\) bán kính \(2\,cm\) ; cung tròn tâm \(C\) bán kính \(3\,cm\). Hai cung tròn cắt nhau tại \(A\).

- Nối \(AB, AC\) ta được tam giác \(ABC\) cần dựng.

Câu b:

Vì \(1cm+2cm < 3,5cm\) nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài \(1\,cm; 2\,cm; 3,5\,cm\) không là ba cạnh của tam giác.

Câu c: 

Vì \(2,2cm + 2cm = 4,2cm\) nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài \(2,2\,cm; 2\,cm; 4,2\,cm\) không là ba cạnh của tam giác.

Tìm chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó là \(3,9\,cm\) và \(7,9\,cm.\)

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, tam giác đã cho là tam giác cân và hai cạnh của nó là \(3,9\,cm\) và \(7,9,cm.\)

Suy ra, cạnh bên của tam giác có thể có độ dài là 3,9cm hoặc 7,9cm.

TH1: Giả sử cạnh bên có độ dài là 3,9cm

Vì \(3,9cm + 3,9cm = 7,8cm < 7,9cm\) (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên loại

TH2: Giả sử cạnh bên có độ dài là 7,9cm

Vì \(3,9cm + 7,9cm = 11,8cm > 7,9cm\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên nhận

Vậy tam giác cân có độ dài cạnh bên là \(7,9\,cm\) và độ dài cạnh đáy là \(3,9\,cm.\)

Chu vi tam giác đó là:

\(3,9 + 7,9 +7,9= 19,7\; (cm)\) 

Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác:

Cho tam giác \(ABC\). Giả sử \(BC\) là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc \(AH\) đến đường thẳng \(BC\) (\(H  \in  BC\)).

a) Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở bài 1 để chứng minh \(AB + AC > BC.\)

b) Từ giả thiết về cạnh \(BC\), hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.

Hướng dẫn giải

Câu a:

\(∆ABC\) có cạnh \(BC\) lớn nhất nên chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) phải nằm giữa \(B\) và \(C\)

Hay \(H\) nằm giữa \(B\) và \(C\) \(\Rightarrow  HB  + HC = BC\) 

Trong \(∆AHC\) vuông tại \(H\) ta có: \(HC < AC\)    (1) (trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Trong \(∆AHB\) vuông tại \(H\) ta có: \(HB < AB\)    (2) (trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1), (2) ta có:

\(HB + HC < AC + AB\)

Vì \(HB + HC = BC\) nên \(BC < AC + AB.\)

Câu b: 

\(BC\) là cạnh lớn nhất nên suy ra \(AB < BC\) và \(AC < BC\)

Vì \(AB, AC > 0\) nên ta có: \(AB < BC + AC; AC < BC + AB\) 

Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại địa điểm \(A\) và \(B\).
Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm \(C\) để xây dựng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là gần nhất.

Hướng dẫn giải

- Nếu \(C\) nằm trên đoạn thẳng \(AB\) (A, B, C thẳng hàng), tức là:

\(AC + BC = AB\) (1)

- Nếu \(A,B,C\) không thẳng hàng thì ba điểm \(A, B, C\) tạo thành một tam giác \(ABC\). Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(AC + BC > AB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AC+BC \ge AB\) 

Do đó \(AC + BC\) ngắn nhất khi \(C\) nằm giữa \(A\) và \(B.\)

Vậy vị trí đặt một cột mắc dây điện từ trạm về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn ngắn nhất là \(C\) nằm giữa \(A\) và \(B\) (\(A,B,C\) thẳng hàng).

Ba thành phố \(A, B, C\) là ba đỉnh của một tam giác; biết rằng \(AC = 30\,km, AB = 90\,km\) (hình dưới)

a) Nếu đặt ở \(C\) máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng \(60\,km\) thì thành phố \(B\) có nhận được tín hiệu không? Vì sao?

b) Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng \(120 \,km.\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức tam giác vào tam giác \(ABC\) ta có: 

\(AB - AC < BC < AB + AC\) 

Thay số ta được: \(90 - 30 < BC < 90 + 30\)

hay \(60 < BC < 120\)

Câu a:

Vì \(BC > 60\) nên nếu đặt tại \(C\) máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng \(60\,km\) thì thành phố \(B\) không nhận được tín hiệu.

Câu b:

Vì \(BC < 120\) nên nếu đặt tại \(C\) máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng \(120\,km\) thì thành phố \(B\) nhận được tín hiệu.