Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác
Phần hướng dẫn giải bài tập Bài Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Toán 7. Hi vọng rằng đây sẽ là những tài liệu hữu ích trong công tác giảng dạy và học tập của quý thầy cô và các em học sinh.
Mục lục nội dung
Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác
1. Giải bài 15 trang 63 SGK Hình học 7
Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác. Trong các trường hợp còn lại, hãy thử dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế:
a) 2cm,3cm,6cm.
b) 2cm,4cm,6cm.
c) 3cm,4cm,6cm.
Phương pháp giải
- Khi xét độ dài ba đoạn thẳng có thỏa mãn bất đẳng thức tam giác hay không ta chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai độ dài còn lại hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai độ dài còn lại.
- Định lí: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Hướng dẫn giải
Câu a:
Ta có 6−3=3>2, do đó ba độ dài 2cm,3cm,6cm không là ba cạnh của tam giác.
Câu b:
Vì 6=2+4 nên ba độ dài là 2cm,4cm,6cm không là ba cạnh của một tam giác.
Câu c:
Ta có: 4−3<6<4+3, do đó ba độ dài 3cm,4cm,6cm là ba cạnh của một tam giác.
Cách dựng tam giác có ba độ dài 3cm, 4cm, 6cm
- Vẽ BC = 6cm
- Dựng đường tròn tâm B bán kính 3cm; đường tròn tâm C bán kính 4cm. Hai đường tròn cắt nhau tại A.
- Nối AB, AC ta được tam giác cần dựng.
2. Giải bài 16 trang 63 SGK Hình học 7
Cho tam giác ABC với hai cạnh BC=1cm,AC=7cm. Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?
Phương pháp giải
- Áp dụng hệ quả bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại và bé hơn tổng độ dài hai cạnh đó.
- So sánh độ dài 3 cạnh của tam giác để kết luận tam giác ABC là tam giác gì.
Hướng dẫn giải
Trong tam giác ABC, theo bất đẳng thức tam giác ta có:
AC−BC<AB<AC+BC
Thay độ dài BC=1cm,AC=7cm ta được:
7−1<AB<7+1
6<AB<8 (1)
Vì độ dài AB là một số nguyên thỏa mãn (1) nên AB=7cm.
Do đó ∆ABC cân tại A vì AB=AC=7cm.
3. Giải bài 17 trang 63 SGK Hình học 7
Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC.
a) So sánh MA với MI+IA, từ đó chứng minh MA+MB<IB+IA.
b) So sánh IB với IC+CB, từ đó chứng minh IB+IA<CA+CB.
c) Chứng minh bất đẳng thức MA+MB<CA+CB.
Phương pháp giải
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
- Áp dụng tính chất của bất phương trình: Nếu X< Y thì X + Z < Y + Z.
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Hướng dẫn giải
Câu a:
M nằm trong tam giác ABC nên ba điểm A,M,I không thẳng hàng.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ∆AMI ta có:
MA<MI+IA (1)
Cộng MB vào hai vế của (1) ta được:
MA+MB<MB+MI+IA
Mà MB+MI=IB
⇒MA+MB<IB+IA (điều phải chứng minh).
Câu b:
Ba điểm B,I,C không thẳng hàng.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ∆BIC ta có:
IB<IC+BC (2).
Cộng IA vào hai vế của (2) ta được:
IB+IA<IA+IC+BC
Mà IA+IC=AC
⇒IB+IA<AC+BC (điều phải chứng minh).
Câu c:
Vì MA+MB<IB+IA (chứng minh trên)
IB+IA<AC+BC (chứng minh trên)
Suy ra MA+MB<CA+CB (điều phải chứng minh).
4. Giải bài 18 trang 63 SGK Hình học 7
Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:
a) 2cm;3cm;4cm
b) 1cm;2cm;3,5cm
c) 2,2cm;2cm;4,2cm
Hãy vẽ tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là một trong các bộ ba ở trên (nếu vẽ được). Trong trường hợp không vẽ được, hãy giải thích.
Phương pháp giải
- Khi xét độ dài ba đoạn thẳng có thỏa mãn bất đẳng thức tam giác hay không ta chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai độ dài còn lại hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai độ dài còn lại.
- Định lí: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Hướng dẫn giải
Câu a:
Ba độ dài 2cm,3cm,4cm thỏa mãn bất đẳng thức: 3−2<4<3+2 nên chúng là ba cạnh của tam giác.
Dựng tam giác có độ dài ba cạnh là 2cm,3cm,4cm
- Vẽ BC=4cm
- Dựng cung tròn tâm B bán kính 2cm ; cung tròn tâm C bán kính 3cm. Hai cung tròn cắt nhau tại A.
- Nối AB,AC ta được tam giác ABC cần dựng.
Câu b:
Vì 1cm+2cm<3,5cm nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài 1cm;2cm;3,5cm không là ba cạnh của tam giác.
Câu c:
Vì 2,2cm+2cm=4,2cm nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài 2,2cm;2cm;4,2cm không là ba cạnh của tam giác.
5. Giải bài 19 trang 63 SGK Hình học 7
Tìm chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó là 3,9cm và 7,9cm.
Phương pháp giải
Áp dụng bất đẳng thức tam giác để xác định độ dài cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại và bé hơn tổng độ dài hai cạnh đó.
- Chu vi tam giác là tổng độ dài 3 cạnh của tam giác đó.
Hướng dẫn giải
Theo đề bài, tam giác đã cho là tam giác cân và hai cạnh của nó là 3,9cm và 7,9,cm.
Suy ra, cạnh bên của tam giác có thể có độ dài là 3,9cm hoặc 7,9cm.
TH1: Giả sử cạnh bên có độ dài là 3,9cm
Vì 3,9cm+3,9cm=7,8cm<7,9cm (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên loại
TH2: Giả sử cạnh bên có độ dài là 7,9cm
Vì 3,9cm+7,9cm=11,8cm>7,9cm (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên nhận
Vậy tam giác cân có độ dài cạnh bên là 7,9cm và độ dài cạnh đáy là 3,9cm.
Chu vi tam giác đó là:
3,9+7,9+7,9=19,7(cm)
6. Giải bài 20 trang 64 SGK Hình học 7
Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác:
Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc AH đến đường thẳng BC (H∈BC).
a) Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở bài 1 để chứng minh AB+AC>BC.
b) Từ giả thiết về cạnh BC, hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.
Phương pháp giải
- Áp dụng nhận xét trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Câu a:
∆ABC có cạnh BC lớn nhất nên chân đường vuông góc kẻ từ A phải nằm giữa B và C
Hay H nằm giữa B và C ⇒HB+HC=BC
Trong ∆AHC vuông tại H ta có: HC<AC (1) (trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
Trong ∆AHB vuông tại H ta có: HB<AB (2) (trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1), (2) ta có:
HB+HC<AC+AB
Vì HB+HC=BC nên BC<AC+AB.
Câu b:
BC là cạnh lớn nhất nên suy ra AB<BC và AC<BC
Vì AB,AC>0 nên ta có: AB<BC+AC;AC<BC+AB
7. Giải bài 21 trang 64 SGK Hình học 7
Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại địa điểm A và B.
Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để xây dựng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là gần nhất.
Phương pháp giải
Dựa vào định lí: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Hướng dẫn giải
- Nếu C nằm trên đoạn thẳng AB (A, B, C thẳng hàng), tức là:
AC+BC=AB (1)
- Nếu A,B,C không thẳng hàng thì ba điểm A,B,C tạo thành một tam giác ABC. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
AC+BC>AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AC+BC≥AB
Do đó AC+BC ngắn nhất khi C nằm giữa A và B.
Vậy vị trí đặt một cột mắc dây điện từ trạm về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn ngắn nhất là C nằm giữa A và B (A,B,C thẳng hàng).
8. Giải bài 22 trang 64 SGK Hình học 7
Ba thành phố A,B,C là ba đỉnh của một tam giác; biết rằng AC=30km,AB=90km (hình dưới)
a) Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
b) Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120km.
Phương pháp giải
Dựa vào hệ quả: Trong một tam giác, một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
Hướng dẫn giải
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABC ta có:
AB−AC<BC<AB+AC
Thay số ta được: 90−30<BC<90+30
hay 60<BC<120
Câu a:
Vì BC>60 nên nếu đặt tại C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B không nhận được tín hiệu.
Câu b:
Vì BC<120 nên nếu đặt tại C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 120km thì thành phố B nhận được tín hiệu.
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
- doc Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
- doc Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
- doc Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc
- doc Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
- doc Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
- doc Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 8: Tính chất đường trung trực của tam giác
- doc Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác
- doc Giải bài tập SGK Toán 7 Ôn tập chương 3: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam giác