Giải bài tập SGK Toán 7 Ôn tập chương 3: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam giác

Cho tam giác $ABC$ với $AC < AB.$ Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $BD = AB.$ Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $E$ sao cho $CE = AC.$ Vẽ các đoạn thẳng $AD, AE.$

a) Hãy so sánh góc $ADC$ và góc $AEB.$

b) Hãy so sánh các đoạn thẳng $AD$ và $AE.$

Hướng dẫn giải

Câu a: Xét $ΔABC$ có $AC < AB$ (giả thiết)

 $⇒ \widehat {ABC} < \widehat {ACB}$  (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)  (1)

 $ΔABD$ cân tại $B$ vì $AB = BD$ (giả thiết)

$⇒ \widehat {ADB} = \widehat {DAB}$ (tính chất)

Mà $\widehat {ABC}  =  \widehat {ADB} +  \widehat {DAB}$  (góc ngoài tam giác)

⇒ $\widehat {DAB}  =  \widehat {ADB} = \dfrac{\widehat {ABC}}{2}$  (2)

$ΔACE$ cân tại $C$ vì $CA = CE$ (giả thiết)

$⇒ \widehat {CAE} = \widehat {CEA}$ (tính chất)

Mà $\widehat {ACB}  =  \widehat {CAE} +  \widehat {CEA}$  (góc ngoài tam giác)

⇒ $\widehat {CAE}  =  \widehat {CEA} = \dfrac{\widehat {ACB}}{2}$   (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat {ADB} < \widehat {AEC}$ 

hay $\widehat {ADC} < \widehat {AEB}$  (điều phải chứng minh).

Câu b: Xét $ΔADE$ có  $\widehat {ADE} < \widehat {AED}$ (chứng minh ở phần a)

Mà $AE$ là cạnh đối diện $\widehat {ADE}$ và $AD$ là cạnh đối diện $\widehat {AED}$ 

$\Rightarrow AE < AD$ (Quan hệ giữa góc - cạnh đối diện trong tam giác).

Gọi $MH$ là đường cao của tam giác $MNP.$ Chứng minh rằng: Nếu $MN < MP$ thì $HN < HP$  và  $\widehat {NMH} < \widehat {PMH}$ (yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc $N$ nhọn và khi góc $N$ tù).

Hướng dẫn giải

- Nếu góc $N$ nhọn (hình a)

$∆MNP$ có $\hat N$ nhọn nên chân đường cao $H$ kẻ từ $M$ nằm giữa $N$ và $P.$

Ta có hình chiếu của $MN$ và $MP$ lần lượt là $HN$ và $HP.$

Từ giả thiết $MN < MP$ $\Rightarrow HN < HP$ (quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu).

$∆MNP$ có $MN < MP$ $\Rightarrow$  $\widehat {MPN} < \widehat {MNP}$ (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)    (1)

Lại có 

$\widehat {NMH} + \widehat {MNH} = {90^o}$ ($∆MNH$ vuông tại $H$)   (2)

$\widehat {MPH} + \widehat {PMH} = {90^o}$ ($∆MHP$ vuông tại $H$)     (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra  $\widehat {NMH} < \widehat {PMH}$

(Giải thích nếu tổng của hai cặp số cùng bằng nhau (bằng $90^o$ chẳng hạn) thì số nào cộng với số lớn hơn thì nhỏ hơn số kia. Tức là:

$a + b = 90^o ; \quad \quad c + d = 90^o$ 

mà $b > d$ thì suy ra $a < c$) 

- Nếu góc $N$ tù (hình b)

$∆MNP$ có  $\hat N$ tù nên chân đường cao $H$ ở ngoài cạnh $NP$ và $N$ ở giữa $H$ và $P$ (xem lại chứng minh bài 58 trang 83 SGK toán 7 tập 2)

$\Rightarrow  HN < HP.$

Vì $N$ ở giữa $H$ và $P$ nên tia $MN$ ở giữa hai tia $MH$ và $MP.$ Từ đó suy ra  $\widehat {HMN} < \widehat {HMP}$.

Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau: $1\,cm, 2\,cm, 3\,cm, 4\,cm$ và $5\,cm$?

Hướng dẫn giải

Để tạo được một tam giác thì độ dài ba cạnh phải thoả mãn bất đẳng thức tam giác đó là độ dài một cạnh lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại. 

Vì vậy chỉ có bộ ba độ dài sau thoả mãn $(2\,cm; 3\,cm; 4\,cm);$ $(2\,cm; 4\,cm ; 5\,cm);$ $(3\,cm; 4\,cm; 5\,cm).$

(Lưu ý: để xét cho nhanh, các bạn áp dụng phần Lưu ý (trang 63 sgk Toán 7 Tập 2), tức là ta so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai cạnh hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai cạnh)

Thật vậy, ta có: 

Vì $3-2<4<3+2$ nên vẽ được tam giác có ba cạnh có độ dài là $2\,cm; 3\,cm; 4\,cm$

Vì $4-2<5<4+2$ nên vẽ được tam giác có ba cạnh có độ dài là $2\,cm; 4\,cm; 5\,cm$

Vì $4-3<5<4+3$ nên vẽ được tam giác có ba cạnh có độ dài là $3\,cm; 4\,cm; 5\,cm$

Với các bộ ba số khác đều không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ với bộ ba độ dài $(1\,cm;  2\,cm;  3\,cm)$ không là ba cạnh của tam giác vì:

$3 = 2 + 1$ mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác.

$3 - 2 < 1$ mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác. 

Đố: Bốn điểm dân cư được xây dựng như hình $58$. Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sao cho tổng các khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi O là địa điểm đặt nhà máy (O tùy ý)

A, B, C, D lần lượt là bốn điểm dân cư (A,B, C, D cố định).

Ta luôn có:

OA + OC ≥ AC

OB + OD ≥ BD

⇒ OA + OB + OC + OD ≥ AC + BD (AC + BD là hằng số)

Vậy để OA + OB + OC + OD nhỏ nhất thì OA + OC = AC và OB + OD = BD.

OA + OC = AC khi O thuộc đoạn AC.

OB + OD = BD khi O thuộc đoạn BD.

Vậy OA + OB + OC + OD nhỏ nhất khi O là giao điểm của hai đoạn AC và BD.

Cho tam giác $MNP$ với đường trung tuyến $MR$ và trọng tâm $Q.$

a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác $MPQ$ và $RPQ.$

b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác $MNQ$ và $RNQ.$

Từ các kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác $QMN, QNP, QPM$ có cùng diện tích.

Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.

Hướng dẫn giải

Câu a: Vẽ $PB   \perp  MR$ tại $B$.

Vậy tam giác $MPQ$ và $RPQ$ có chung đường cao $PB.$ 

Vì $Q$ là trọng tâm của $∆MNP$ nên điểm $Q$ thuộc đường trung tuyến $MR$ và  $MQ = 2QR.$

Ta có: $S_{\Delta MPQ}= \dfrac{1}{2}MQ.PB$$\,= \dfrac{1}{2}. 2QR.PB =QR.PB$

và $S_{\Delta RPQ}= \dfrac{1}{2}QR.PB$
Vậy: $\dfrac{S_{\Delta MPQ}}{S_{\Delta RPQ}} = \dfrac{QR.PB}{\dfrac{1}{2}QR.PB} = 2$    (1)

Câu b: Vẽ $NA   \perp  MR$ tại $A$

Vậy tam giác $MNQ$ và $RNQ$ có chung đường cao $NA.$

Vì $Q$ là trọng tâm của $∆MNP$ nên điểm $Q$ thuộc đường trung tuyến $MR$ và  $MQ = 2QR.$

Ta có: $S_{\Delta MNQ}= \dfrac{1}{2}MQ.NA$$= \dfrac{1}{2}. 2QR.NA =QR.NA$

và  $S_{\Delta RNQ}= \dfrac{1}{2}QR.NA$
Vậy: $\dfrac{S_{\Delta MNQ}}{S_{\Delta RNQ}} = \dfrac{QR.NA}{\dfrac{1}{2}QR.NA} = 2$    (2)

Câu c: Hai tam giác $∆RPQ$ và $∆RQN$ có chung đường cao kẻ từ $Q$ và $PR = RN$ nên ${S_{RPQ}} = {S_{RQN}}$

Vì ${S_{RPQ}} + {S_{RQN}} = {S_{QNP}}$ 

Nên ${S_{QNP}} = 2{S_{RPQ}} = 2{S_{RQN}}$ hay $\dfrac{S_{\Delta QNP}}{S_{\Delta RPQ}} =2$   (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: ${S_{MNQ}} ={S_{QNP}} ={S_{MPQ}}$

(Chú ý: $S$ là diện tích, ví dụ ${S_{MNQ}}$ là diện tích tam giác $MNQ$).

Cho góc $xOy.$ Hai điểm $A, B$ lần lượt nằm trên hai cạnh $Ox, Oy.$

a) Hãy tìm điểm $M$ cách đều hai cạnh của góc $xOy$ và cách đều hai điểm $A, B.$

b) Nếu $OA = OB$ thì có bao nhiêu điểm $M$ thỏa mãn các điều kiện trong câu a?

Hướng dẫn giải

Câu a: 

Vì $M$ cách đều hai cạnh $Ox, Oy$ của  $\widehat {xOy}$ nên $M$ nằm trên tia phân giác $Oz$ của $\widehat {xOy}$.

Vì $M$ cách đều hai điểm $A$ và $B$ nên $M$ thuộc đường trung trực của $AB.$

Vậy $M$ là giao điểm của tia phân giác $Oz$ và đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$

Câu b:

Nếu $OA = OB$ thì $∆AOB$ cân tại $O$ nên tia phân giác $\widehat {xOy}$ cũng là trung trực của $AB$ nên mọi điểm trên tia phân giác $\widehat {xOy}$ sẽ cách đều hai cạnh $Ox, Oy$ và cách đều hai điểm $A$ và $B.$

Vậy khi $OA = OB$ thì có vô số điểm trên tia phân giác $\widehat {xOy}$ thỏa mãn các điều kiện ở câu a.

Cho hai đường thẳng phân biệt không song song $a$ và $b$, điểm $M$ nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua $M$ lần lượt vẽ đường thẳng $c$ vuông góc với $a$ tại $P$, cắt $b$ tại $Q$ và đường thẳng $d$ vuông góc với $b$ tại $R,$ cắt $a$ tại $S.$ Chứng minh rằng đường thẳng qua $M,$ vuông góc với $SQ$ cũng đi qua giao điểm của $a$ và $b.$

Hướng dẫn giải

Vì $a$ và $b$ không song song nên giả sử chúng cắt nhau tại $A.$

Xét $ΔAQS$ có:

$QP ⊥ AS$ (vì $QP ⊥ a$) nên $QP$ là đường cao của tam giác $AQS$

$SR ⊥ AQ$ (vì $SR ⊥ b$) nên $SR$ là đường cao của tam giác $AQS$

Ta có $QP$ và $RS$ cắt nhau tại $M.$ Vậy $M$ là trực tâm của $ΔAQS.$

$\Rightarrow$ Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $QS$ tại $H$ sẽ là đường cao thứ ba của $ΔAQS.$

Vậy $MH$ phải đi qua đỉnh $A$ của $ΔAQS$ hay đường thẳng vuông góc với $QS$ đi qua giao điểm của $a$ và $b$ (điều phải chứng minh).

Cho $A, B$ là hai điểm phân biệt và $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$

a) Ta kí hiệu ${P_A}$ là nửa mặt phẳng bờ $d$ có chứa điểm $A$ (không kể đường thẳng $d$). Gọi $N$ là một điểm của ${P_A}$ và $M$ là giao điểm của đường thẳng $NB$ và $d.$ Hãy so sánh $NB$ với $NM + MA;$ từ đó suy ra $NA < NB.$ 

b) Ta kí hiệu ${P_B}$ là nửa mặt phẳng bờ $d$ có chứa điểm $B$ (không kể $d$). Gọi $N’$ là một điểm của ${P_B}.$ Chứng minh rằng $N’B < N’A.$

c) Gọi $L$ là một điểm sao cho $LA < LB.$ Hỏi điểm $L$ nằm ở đâu, trong ${P_A},{P_B}$ hay trên $d$?

Hướng dẫn giải

Câu a: 

- Ta có $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $MA = MB.$

Vì $M$ nằm giữa đoạn $NB$ nên:

    $NB = NM + MB$ hay $NB = NM + MA$ (vì $MB = MA$)

Vậy $NB = NM + MA$

- Trong $ΔNMA$ có: $NA < NM + MA$ (bất đẳng thức tam giác).

Vì $NM + MA = NB$ nên $NA < NB$ (điều phải chứng minh).

Câu b:

Nối $N'A$ cắt $(d)$ tại $P.$ Vì $P$ nằm trên đường trung trực của đoạn $AB$ nên: $PA = PB$

Ta có: $N'A = N'P + PA = N'P + PB$

Trong $ΔN'PB$ ta có: $N'B < N'P + PB$

Do đó: $N'B < N'A$ (điều phải chứng minh)

Câu c: 

- Vì $LA < LB$ nên $L$ không thuộc đường trung trực $d.$

- Từ câu b) ta suy ra với điểm $N'$ bất kì thuộc $PB$ thì ta có $N'B < N'A.$ Do đó, để $LA < LB$ thì $L$ không thuộc $P_B.$

- Từ câu a) ta suy ra với điểm $N$ bất kì thuộc $PA$ thì ta có $NA < NB.$ Do đó, để $LA < LB$ thì $L$ thuộc $P_A.$