Toán 10 Chương 4 Bài 1: Bất đẳng thức

Mời các em cùng tham khảo bài giảng Bất đẳng thức do eLib biên soạn và tổng hợp dưới đây. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về bất đẳng thức và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến bất đẳng thức.

Toán 10 Chương 4 Bài 1: Bất đẳng thức

Toán 10 Chương 4 Bài 1: Bất đẳng thức

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Cho a,b là hai số thực. Các mệnh đề a>b,a<b,ab,ab được gọi là những bất đẳng thức.

  • Chứng minh bất đảng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng(mệnh đề đúng)

  • Với A,B là mệnh đề chứ biến thì “A>B” là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức A>B (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến  “A>B” đúng với tất cả các giá trị của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất đẳng thức A>B mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.

1.2. Tính chất

- Tính chất bắc cầu: a>bb>ca>c              

- Quy tắc cộng:

  • a>ba+c>b+c
  • a>bc>da+c>b+d 

- Quy tắc nhân:

  • Nếu c>0 thì a>bac>bc
  • Nếu c<0 thì a>bac<bc

- Lũy thừa, khai căn

  • a>b0a>b
  • ab0a2b2
  • a>b0an>bn

1.3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

  • |a|a|a| với mọi số thực a .
  • |x|<aa<x<a ( Với a>0)
  • |x|>a[x>ax<a     ( Với a>0)

1.4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)

a) Đối với hai số không âm

Cho a0,b0, ta có  a+b2ab. Dấu '='  xảy ra khi và chỉ khi a=b

Hệ quả:

  • Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
  • Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

b) Đối với ba số không âm

Cho a0,b0,c0, ta có a+b+c33abc. Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

2. Bài tập minh họa

2.1. Dạng 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất cơ bản

Phương pháp giải

Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) AB ta có thể sử dụng các cách sau:

Ta đi chứng minh AB0. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích AB thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.

Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.

Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng

Câu 1: Cho hai số thực a,b,c. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau                                                             

ab(a+b2)2

Hướng dẫn giải:

Bất đẳng thức tương đương với (a+b2)2ab0

a2+2ab+b24ab(ab)20 (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy raa=b

Câu 2: Cho năm số thực a,b,c,d,e. Chứng minh rằng

 a2+b2+c2+d2+e2a(b+c+d+e).

Hướng dẫn giải:

Ta có : a2+b2+c2+d2+e2a(b+c+d+e)=

=(a24ab+b2)+(a24ac+c2)+(a24ad+d2)+(a24ae+e2)

=(a2b)2+(a2c)2+(a2d)2+(a2e)20 đpcm.

Đẳng thức xảy ra b=c=d=e=a2.

Loại 2:  Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh

Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt

Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng

  • a[α;β](aα)(aβ)0     ()
  • a,b,c[α;β](aα)(bα)(cα)+(βa)(βb)(βc)0()

Câu 1: Cho a,b,c[0;1]. Chứng minh : a2+b2+c21+a2b+b2c+c2a

Hướng dẫn giải:

BĐT cần chứng minh tương đương với   a2(1b)+b2(1c)+c2(1a)1

a,b,c[0;1] a2a,b2b,c2c do đó

a2(1b)+b2(1c)+c2(1a)a(1b)+b(1c)+c(1a)

Ta chỉ cần chứng minh a(1b)+b(1c)+c(1a)1

Thật vậy: vì a,b,c[0;1] nên theo nhận xét () ta có

abc+(1a)(1b)(1c)0

a+b+c(ab+bc+ca)1

a(1b)+b(1c)+c(1a)1

Vậy BĐT ban đầu được chứng minh.

2.2. Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

Phương pháp giải

  • Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi:
  • Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm
  • BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
  • Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau
  • Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng

Đối với hai số:x2+y22xy;x2+y2(x+y)22;xy(x+y2)2.

Đối với ba số: abca3+b3+c33,abc(a+b+c3)3

Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi

Câu 1: Cho a,b là số dương thỏa mãn a2+b2=2. Chứng minh rằng       

(a+b)516ab(1+a2)(1+b2)

Hướng dẫn giải:

Ta có (a+b)5=(a2+2ab+b2)(a3+3ab2+3a2b+b3)

Áp dụng BĐT côsi ta có

a2+2ab+b222ab(a2+b2)=4ab(a3+3ab2)+(3a2b+b3)2(a3+3ab2)(3a2b+b3)=4ab(1+b2)(a2+1)

Suy ra (a2+2ab+b2)(a3+3ab2+3a2b+b3)16ab(a2+1)(b2+1)

Do đó (a+b)516ab(1+a2)(1+b2) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=1.

Câu 2: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng

(1+a)(1+b)(1+c)(1+3abc)3

Hướng dẫn giải:

Ta có (1+a)(1+b)(1+c)=1+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+abc

Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có

ab+bc+ca33ab.bc.ca=3(3abc)2a+b+c33abc

Suy ra (1+a)(1+b)(1+c)1+3(3abc)2+33abc+abc=(1+3abc)3 ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp

  • Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi.

  • Khi gặp BĐT có dạng x+y+za+b+c(hoặc xyzabc), ta thường đi chứng minh x+y2a(hoặcabx2), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh.

  • Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra(thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).

Câu 1: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng:

abc+bca+acba+b+c                          

Hướng dẫn giải:

Áp dụng BĐT côsi ta có abc+bca2abc.bca=2b

Tương tự ta có bca+acb2c,acb+bac2a.

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được

2(abc+bca+acb)2(a+b+c)abc+bca+acba+b+c ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c .

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Cho hai số thực a,b,c. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau

ab(a+b)24

Câu 2: Cho năm số thực a,b,c. Chứng minh rằng

a2+b2+c2ab+bc+ca

Câu 3: Với hai số dương x và y, chứng minh rằng

1x+y14(1x+1y)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Xác định m để với mọi x ta có 1x2+5x+m2x23x+2<7

A. 53m<1

B. 1<m53

C. m53

D. m < 1

Câu 2: Tìm m để (m+1)x2+mx+m<0,xR?

A. m < -1

B. m > -1 

C. m<43

D. m>43

Câu 3: Tìm m để f(x)=x22(2m3)x+4m3>0,xR?

A. m>32

B. m>34

C. 34<m<32

D. 1<m<3

Câu 4: Với giá trị nào của a thì bất phương trình ax2x+a0,xR?

A. a= 0

B. a  < 0

C. 0<a12

D. a12

Câu 5: Với giá trị nào của m thì bất phương trình x2x+m0 vô nghiệm?

A. m < 1

B. m > 1

C. m<14

D. m>14

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Bất đẳng thức Toán 10 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Trong bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

  • Khái niệm cơ bản về bất đẳng thức

  • Phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến bất đẳng thức.

Ngày:03/08/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM