Toán 10 Chương 6 Bài 3: Công thức lượng giác

cos( a – b) = cosa.cosb + sina.sinb    

cos( a + b) = cosa.cosb – sina.sinb    

sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb      

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb     

$\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}$       

$\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}$      

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1= 1 – 2sin2a 

$\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}$

$\begin{array}{l} \cos a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) + c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\ \sin a.\sin b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) - c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\ \sin a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}\sin (a - b) + \sin (a + b){\rm{]}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\ \cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\ \sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\ \sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2} \end{array}$

Câu 1: Hãy chứng minh công thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb.

Hướng dẫn giải:

$\eqalign{ & \sin (a + b) = \cos \left[ {{\pi \over 2} - (a + b)} \right] = \cos \left[ {({\pi \over 2} - a) - b)} \right] \cr & = \cos ({\pi \over 2} - a)cos\,b\, + sin({\pi \over 2} - a)\sin b \cr & = \sin \,a\,\cos b\, + \,\cos a\sin b \cr}$

Câu 2: Từ các công thức cộng, hãy suy ra các công thức còn lại.

Hướng dẫn giải:

+) Từ : cos⁡(a - b)= cosa cosb + sina sinb

cos⁡(a + b) = cosa cosb - sina sinb

⇒ cos⁡(a - b) + cos⁡(a + b)= 2cosa cosb

⇒ cosa cosb = ${1 \over 2}$ [cos⁡(a - b) + cos⁡(a + b)]

+) Tương tự: cos⁡(a - b)- cos⁡(a + b) = 2sina sinb

⇒ sinasinb = ${1 \over 2}$ [cos⁡(a - b) - cos⁡(a + b) ]

+) Từ: sin⁡(a - b) = sina cosb - cosa sinb

sin⁡(a + b)= sina cosb + cosa sinb

⇒ sin⁡(a - b) + sin⁡ (a + b) = 2 sina cosb

⇒ sina cosb = ${1 \over 2}$ [sin⁡(a - b)+ sin⁡(a + b)]

Câu 3: Bằng cách đặt u = a – b, v = a + b, hãy biến đổi cosu + cosv, sinu + sinv thành tích.

Hướng dẫn giải

Ta đặt:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = a - b\\ v = a + b \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 2a\\ u - v = - 2b \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{{u + v}}{2}\\ b = \dfrac{{v - u}}{2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \cos u + \cos v = \cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)\\ = \cos a\cos b + \sin a\sin b\\ + \cos a\cos b - \sin a\sin b\\ = 2\cos a\cos b\\ = 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{v - u}}{2}\\ = 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \dfrac{{u - v}}{2}} \right)\\ = 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}\\ \Rightarrow \cos u + \cos v = 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}\\ \sin u + \sin v = \sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)\\ = \sin a\cos b - \sin b\cos a\\ + \sin a\cos b + \sin b\cos a\\ = 2\sin a\cos b\\ = 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{v - u}}{2}\\  = 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \dfrac{{u - v}}{2}} \right)\\ = 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2} \end{array}$

$\Rightarrow \sin u + \sin v = 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}$

Câu 1: Cho cosα = 1/4, tính sin(α + π/3) - cos(α - π/6)

Câu 2: Cho sinα = 8/17, sinβ = 15/17 với 0 < α < π/2, 0 < β <π/2. Chứng minh rằng: α + β = π/2

Câu 1: Tính $C = \frac{{3{{\tan }^2}\alpha  - \tan \alpha }}{{2 - 3{{\tan }^2}\alpha }}$, biết $\tan \frac{\alpha }{2} = 2$

A. -2

B. 14

C. 2

D. 34

Câu 2: Nếu sinx = 3cosx thì sinx.cosx bằng:

A. 3/10

B. 2/9

C. 1/4

D. 1/6

Câu 3: Cho $\sin a = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ . Tính $\cos 2a\sin a$ 

A. $\frac{{17\sqrt 5 }}{{27}}$

B. $- \frac{{\sqrt 5 }}{9}$

C. $\frac{{\sqrt 5 }}{{27}}$

D. $- \frac{{\sqrt 5 }}{{27}}$

Câu 4: Nếu $\cos \alpha  + \sin \alpha  = \sqrt 2 \,\,\,\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)$ thì $\alpha$ bằng:

A. $\frac{\pi }{6}$

B. $\frac{\pi }{3}$

C. $\frac{\pi }{4}$

D. $\frac{\pi }{8}$

Câu 5: Cho $\cos 2a = \frac{1}{4}$. Tính $\sin 2a\cos a$

A. $\frac{{3\sqrt {10} }}{8}$

B. $\frac{{5\sqrt 6 }}{{16}}$

C. $\frac{{3\sqrt {10} }}{{16}}$

D. $\frac{{5\sqrt 6 }}{8}$

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Biết được các công thức lượng giác cộng, nhân đôi, tổng thành tích, tích thành tổng
• Áp dụng giải được các bài toán liên quan.