Toán 10 Chương 3 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

a) Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax +by = c, trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

b) Giải và biện luận phương trình \(ax + by = c\) (\(ab ≠ 0\))

Nếu \(a ≠ 0, b ≠ 0\) phương trình có vô số nghiệm, mỗi cặp số \((x, y)\), trong đó

\(\left\{\begin{matrix} x\in\mathbb R & \\ y=\dfrac{c-ax}{b}& \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} y\in\mathbb R & \\ x=\dfrac{c-by}{a}& \end{matrix}\right.\) đều là nghiệm của phương trình.

Tập nghiệm của phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{-a}{b}x+\dfrac{c}{b}\). Ta cũng gọi đồ thị đó là đường thẳng \(ax + by = c\).

a) Định nghĩa

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\
{a_2}x + {b_2}y = {c_2}
\end{array} \right.\,\,(a_1^2 + b_1^2 \ne 0,\,\,a_2^2 + b_2^2 \ne 0)\)

b) Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:  phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

Để giải ta dùng phương pháp cộng đặc số để đưa về hệ phương trình tương đương có dạng tam giác hoặc dùng phương pháp thế để đưa về việc giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Câu 1: Giải các hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 6y = 5\\9x - 11y = 10\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{7x - 6y = 5}\\
{9x - 11y = 10}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
63x - 54y = 45\\
63x - 77y = 70
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
7x - 6y = 5\\
\left( {63x - 54y} \right) - \left( {63x - 77y} \right) = 45 - 70
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
7x - 6y = 5\\
23y = 25
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \frac{5}{{23}}\\
y = \frac{{25}}{{23}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là \(\left( { - \frac{5}{{23}};\frac{{25}}{{23}}} \right)\).

Câu 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = 2\\6x - 8y = 7\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 10\\6x - 5y = 9\end{array} \right.\)

Câu 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}(2x + 1)y - 3) = 2xy\\(x - 1)(y +3) = xy\end{array} \right.\)                   

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 2y} \right| = \sqrt 3 \\2x - y =  0\end{array} \right.\)                     

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2(2x + y)}}{{2x - y}} =  - 6\\\frac{{3x - y}}{{y - 2x}} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Câu 3: Giải và biện luận hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x -m y = 2m-1\\mx - 2y = 2m + 3\end{array} \right.\)

Câu 1: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = \frac{5}{8}\\\frac{1}{{x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = \frac{3}{8}\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm 

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

Câu 2: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2\left| {x - 6} \right| + 3\left| {y + 1} \right| = 5\\5\left| {x - 6} \right| - 4\left| {y + 1} \right| = 1\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

 Câu 3: Tìm m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(m + 1)x + 8y = 4m\\mx + (m + 3)y = 3m - 1\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất?

A. \(m \ne 1\)và \(m \ne 3\).

B. \(m \ne 3\)

C. \(m \ne 1\)

D. \(m \ne 2\)và \(m \ne 1\)

Câu 4: Tìm m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 4x + my = m + 1\\\left( {m + 6} \right)x + 2y = m + 3\end{array} \right.\) có vô số nghiệm:

A. \(m =  - 1\)

B. \(m =  - 2\)

C. \(m =  - 4\)

D. \(m =  - 3\)

Câu 5: Tùy theo giá trị của \(m\), hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P\left( {x;y} \right) = {\left( {mx + 2y - 2m} \right)^2} + {\left( {x + y - 3} \right)^2}\)

A. \(m \ne 2\) thì \(\min P\left( {x;y} \right) = 0.\)

B. \(m \ne 0\) thì \(\min P\left( {x;y} \right) = \frac{4}{5}\).

C. \(m \ne 3\) thì \(\min P\left( {x;y} \right) = \frac{1}{5}.\)

D. \(m \ne 4\) thì \(\min P\left( {x;y} \right) = \frac{2}{5}.\)

Thông qua bài học này, các em cần nắm được:

• Cách giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn.

• Cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất chứa tham số.