Toán 10 Chương 4 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

- Định nghĩa: Tam thức bậc hai đối với  là biểu thức có dạng \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\) trong đó \(a,b,c\) là những hệ số \(,a \ne 0.\)

Ví dụ 1: 

a.\(f(x) = {x^2} +2x+3\) là tam thức bậc hai với \(a=1 \ne 0, b=2,c=3 \)

b.\(f(x) = x^2-1\) là tam thức bậc hai với \(a=1 \ne 0, b=0, c=-1\)

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) cũng là nghiệm của tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\Delta  = {b^2} - 4ac\;(\Delta ' = b{'^2} - ac)\) được gọi là biệt thức(biệt thức thu gọn ) của tam thức bậc hai.

- Định lý về Dấu của tam thức bậc hai

Cho \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\Delta  = {b^2} - 4ac\)

• Nếu \(\Delta  < 0\) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \in R\)
• Nếu  \(\Delta  = 0\) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)
• Nếu \(\Delta  > 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi \(x < {x_1}\) hoặc \(x > {x_2}\) trái dấu với hệ số a khi \({x_1} < x < {x_2}\) trong đó \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của f(x)

Các kết quả trên được thể hiện qua các bảng sau:

• Với \(\Delta  < 0\)

• Với \(\Delta  = 0\)

• Với \(\Delta  > 0\)

- Cách xét dấu tam thức bậc hai

• Tìm nghiệm tam thức (bấm máy)
• Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a.
• Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

- Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng \(a{x^2} + bx + c < 0\) (hoặc

\(a{x^2} + bx + c \le 0,a{x^2} + bx + c > 0,a{x^2} + bx + c \ge 0\)), trong đó \(a,b,c\) là những số thực đã cho \(,a \ne 0.\).

Ví dụ 2: \({3x^2} +2 < 0;3{x^2} - 6x + 3 > 0\)

- Giải bất phương trình bậc hai 

Giải bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c < 0\) thực chất là tìm các khoảng mà trong đó \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) cùng dấu với hệ số a ( trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a ( trường hợp a > 0)

Câu 2: Xét dấu các tam thức: f(x) = 3x2 + 2x – 5;

Câu 3: Giải bất phương trình \( - 3{x^2} + 7x - 4 < 0\)

Hướng dẫn giải:

Ta đặt \(f(x) =  - 3{x^2} + 7x - 4\)

\({ - 3{x^2} + 7x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = \frac{4}{3}}
\end{array}} \right.}\)

Hệ số a = -3 < 0

Bảng xét dấu 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(T = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right).\)

Câu 1: Xét dấu tam thức \(f(x) =  4{x^2} + 3x - 7.\)

Câu 2: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{{{4x^2} + 4x + 1}}{{{x^2} - 9}}\)

Câu 3: Giải bất phương trình \( - 4{x^2} + 9x - 5 < 0\)

Câu 1: Để bất phương trình \(\sqrt {(x + 5)(3 - x)} \le {x^2} + 2x + a\) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ { - 5;3} \right]\), tham số  a phải thỏa điều kiện:

A. \(a \ge 3\)

B. \(a \ge 4\)

C. \(a \ge 5\)

D. \(a \ge 6\)

Câu 2: Với giá trị nào của m thìphương trình \(\sqrt {{x^2} - 2m} + 2\sqrt {{x^2} - 1} = x\) vô nghiệm?

A. \(m \le \frac{2}{3}\)

B. \(\left[ \begin{array}{l} m < 0\\ m > \frac{2}{3} \end{array} \right.\)

C. \(0 \le m \le \frac{2}{3}\)

D. m = 0

Câu 3: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 3x - 4 \le 0}\\ {{x^3} - 3\left| x \right|x - {m^2} + 6m \ge 0} \end{array}} \right.\). Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A. \(2 \le m \le 8\;\)

B. \(-8 \le m \le 2\;\)

C. \(-2 \le m \le 8\;\)

D. \(-8 \le m \le -2\;\)

Câu 4: Hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 5x + 4 \le 0\\ {x^2} - ({m^2} + 3)x + 2({m^2} + 1) \le 0 \end{array} \right.\) có tập nghiệm biểu diễn trên trục số có độ dài bằng 1, với giá trị của m là:

A. m = 0

B. \(m = \sqrt 2 \)

C. \(m = -\sqrt 2 \)

D. Tất cả đều đúng

Qua bài học này, các em cần nắm được các nội dung sau:

• Khái niệm cơ bản về Dấu của tam thức bậc hai.
• Phương pháp để giải bất phương trình bất phương trình bậc hai một ẩn.