Toán 10 Chương 4 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

- Định nghĩa: Tam thức bậc hai đối với  là biểu thức có dạng $f(x) = a{x^2} + bx + c,$ trong đó $a,b,c$ là những hệ số $,a \ne 0.$

Ví dụ 1: 

a.$f(x) = {x^2} +2x+3$ là tam thức bậc hai với $a=1 \ne 0, b=2,c=3$

b.$f(x) = x^2-1$ là tam thức bậc hai với $a=1 \ne 0, b=0, c=-1$

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ cũng là nghiệm của tam thức bậc hai $f(x) = a{x^2} + bx + c,\Delta  = {b^2} - 4ac\;(\Delta ' = b{'^2} - ac)$ được gọi là biệt thức(biệt thức thu gọn ) của tam thức bậc hai.

- Định lý về Dấu của tam thức bậc hai

Cho $f(x) = a{x^2} + bx + c,\Delta  = {b^2} - 4ac$

• Nếu $\Delta  < 0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi $x \in R$
• Nếu  $\Delta  = 0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi $x =  - \frac{b}{{2a}}$
• Nếu $\Delta  > 0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi $x < {x_1}$ hoặc $x > {x_2}$ trái dấu với hệ số a khi ${x_1} < x < {x_2}$ trong đó ${x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$ là hai nghiệm của f(x)

Các kết quả trên được thể hiện qua các bảng sau:

• Với $\Delta  < 0$

• Với $\Delta  = 0$

• Với $\Delta  > 0$

- Cách xét dấu tam thức bậc hai

• Tìm nghiệm tam thức (bấm máy)
• Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a.
• Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

- Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng $a{x^2} + bx + c < 0$ (hoặc

$a{x^2} + bx + c \le 0,a{x^2} + bx + c > 0,a{x^2} + bx + c \ge 0$), trong đó $a,b,c$ là những số thực đã cho $,a \ne 0.$.

Ví dụ 2: ${3x^2} +2 < 0;3{x^2} - 6x + 3 > 0$

- Giải bất phương trình bậc hai 

Giải bất phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c < 0$ thực chất là tìm các khoảng mà trong đó $f(x) = a{x^2} + bx + c$ cùng dấu với hệ số a ( trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a ( trường hợp a > 0)

Câu 2: Xét dấu các tam thức: f(x) = 3x2 + 2x – 5;

Câu 3: Giải bất phương trình $- 3{x^2} + 7x - 4 < 0$

Hướng dẫn giải:

Ta đặt $f(x) =  - 3{x^2} + 7x - 4$

${ - 3{x^2} + 7x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = \frac{4}{3}} \end{array}} \right.}$

Hệ số a = -3 < 0

Bảng xét dấu 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $T = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right).$

Câu 1: Xét dấu tam thức $f(x) =  4{x^2} + 3x - 7.$

Câu 2: Xét dấu biểu thức $f(x) = \frac{{{4x^2} + 4x + 1}}{{{x^2} - 9}}$

Câu 3: Giải bất phương trình $- 4{x^2} + 9x - 5 < 0$

Câu 1: Để bất phương trình $\sqrt {(x + 5)(3 - x)} \le {x^2} + 2x + a$ nghiệm đúng $\forall x \in \left[ { - 5;3} \right]$, tham số  a phải thỏa điều kiện:

A. $a \ge 3$

B. $a \ge 4$

C. $a \ge 5$

D. $a \ge 6$

Câu 2: Với giá trị nào của m thìphương trình $\sqrt {{x^2} - 2m} + 2\sqrt {{x^2} - 1} = x$ vô nghiệm?

A. $m \le \frac{2}{3}$

B. $\left[ \begin{array}{l} m < 0\\ m > \frac{2}{3} \end{array} \right.$

C. $0 \le m \le \frac{2}{3}$

D. m = 0

Câu 3: Cho hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 3x - 4 \le 0}\\ {{x^3} - 3\left| x \right|x - {m^2} + 6m \ge 0} \end{array}} \right.$. Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A. $2 \le m \le 8\;$

B. $-8 \le m \le 2\;$

C. $-2 \le m \le 8\;$

D. $-8 \le m \le -2\;$

Câu 4: Hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 5x + 4 \le 0\\ {x^2} - ({m^2} + 3)x + 2({m^2} + 1) \le 0 \end{array} \right.$ có tập nghiệm biểu diễn trên trục số có độ dài bằng 1, với giá trị của m là:

A. m = 0

B. $m = \sqrt 2$

C. $m = -\sqrt 2$

D. Tất cả đều đúng

Qua bài học này, các em cần nắm được các nội dung sau:

• Khái niệm cơ bản về Dấu của tam thức bậc hai.
• Phương pháp để giải bất phương trình bất phương trình bậc hai một ẩn.