Toán 10 Chương 5 Bài 3: Số trung bình cộng, số trung vị, mốt

Cho 1 bảng thống kê số liệu (các giá trị) của một dấu hiệu \(x\). Tỉ số của tổng tất cả các giá trị của bảng với số các giá trị của bảng là số trung bình, kí hiệu là \(\overline{x}\). Công thức tính số trung bình như sau:

a) Đối với bảng phân bố tần số rời rạc

\(\overline{x} = \frac{1}{n}.({n_1}{x_{1}} + {\rm{ }}{n_2}{x_2} +  \ldots  + {\rm{ }}{n_n}{x_n}){\rm{ }} \)

\(= {\rm{ }}{f_1}{x_{1}} + {\rm{ }}{f_2}{x_{2}} +  \ldots  + {\rm{ }}{f_n}{x_n}.\)        (1)

Trong đó \({n_i},{\rm{ }}{f_{i}}\left( {i = {\rm{ }}1,{\rm{ }}2, \ldots ,{\rm{ }}k} \right)\) lần lượt là tần số, tần suất của giá trị \(x_i, n\) là số các số liệu thống kê với \(n_1+ n_2+…+ n_n= n\). 

Ghi chú: Các công thức (1) còn có cách viết gọn như sau:

\(\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}x_{i}=\sum_{i=1}^{k}f_{i}x_{i}\)

b) Đối với bảng phân bố tần số ghép lớp ta có:

\(\overline{x} = \frac{1}{n}.({n_1}{C_{1}} + {\rm{ }}{n_2}{C_{2}} +  \ldots  + {\rm{ }}{n_k}{C_k}){\rm{ }}\)\( = {\rm{ }}{f_1}{C_{1}} + {\rm{ }}{f_2}{C_{2}} +  \ldots  + {\rm{ }}{f_k}{C_k}\)

Trong đó \(({n_i},{\rm{ }}{C_i},{\rm{ }}{f_i}\) theo thứ tự là tần số, giá trị đại diện, tần suất của lớp thứ \(i (i = 1, 2, …, k)\).

- Khái niệm: Khi các số liệu thống kê có sự chênh lệch lớn thì số trung bình cộng không đại diện được cho các số liệu đó. Khi đó ta chọn số đặc trưng khác đại diện thích hợp hơn, đó là số trung vị 

- Sắp thứ tự các giá trị thống kê theo thứ tự không giảm.

• Nếu có \(n\) số liệu, \(n\) lẻ \((n = 2k + 1)\) thì \({M_e} = {x_{k + 1}}\) được gọi là trung vị.
• Nếu \(n\) là số chẵn \((n = 2k)\), thì số trung vị là \(M_{e}=\frac{x_{k}+x_{k+1}}{2}.\)

- Lưu ý cách tìm số trung vị:

• Phải sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm ( hoặc không tăng).
• Nếu n lẻ  thì Me là số đứng chính giữa dãy ( số hạng thứ \(\frac{{n + 1}}{2}\)).
• Nếu n chẵn thì Me là  trung bình cộng  của 2 số đứng giữa dãy (số hạng thứ \(\frac{n}{2}\) và số hạng thứ \(\frac{n}{2} + 1\)).

- Định nghĩa: Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là Mo.

- Nhận xét: Một mẫu số liệu có thể có một hay nhiều mốt.

Câu 1: Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau:

Câu 2: Trong bảng phân bố tần số, các số liệu thống kê đã được sắp thứ tự thành dãy không giảm theo các giá trị của chúng. Hãy tìm số trung vị của các số liệu thống kê số áo bán được trong một quý ở một quý ở một cửa hàng bán áo sơ mi nam sau:

36, 36, 36, …, 36, 37, 37, …, 37, 38, 38, …, 38, …., 42, 42.

Dãy số gồm 465 số nên số trung vị là số đứng ở vị trí thứ 233.

Số thứ 233 là số 39.

Số trung vị của các số liệu trên là: M_e = 39

Câu 1: Trong một trường THPT, để tìm hiểu tình hình học Toán của hai lớp 10A, 10B người ta cho hai lớp đó đồng thời làm bài thi môn Toán theo cùng một đề thi và lập được hai bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây:

Điểm thi của lớp 10A:

Điểm thi của lớp 10B:

Tính các số trung bình cộng \(\overline x ,\overline y \) của hai bảng phân bố ở trên và nêu nhận xét về kết quả làm bài thi của 2 lớp.

Câu 2: Tiền lương hàng tháng của 7 nhân viên trong một công ty du lịch là như sau (đơn vị nghìn đồng): 650, 840, 690, 720, 2500, 670, 3000.

Tìm số trung vị của các số liệu thống kê đã cho. Nêu ý nghĩa của kết quả tìm được.

Câu 1: Ba nhóm học sinh gồm 20 người,15 người,25 người.Khối lượng trung bình của mỗi nhóm lần lượt là 50kg,38kg,40kg.Khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh là

A. 41,6 kg

B. 42,8 kg

C. 41,8 kg

D. Đáp số khác

Câu 2: Cho dãy số liệu thống kê: 48,36,33,38,32,48,42,33,39. Khi đó số trung vị là

A. 32

B. 36

C. 38

D. 40

Câu 3: Cho mẫu số liệu thống kê \(\left\{ {6,5,5,2,9,10,8} \right\}\) .Mốt của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu?

A. 5

B. 10

C. 2

D. 6

Câu 4: Cho mẫu số liệu thống kê \(\left\{ {28,16,13,18,12,28,13,19} \right\}\) .Trung vị của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?

A. 14

B. 16

C. 17

D. 18

Câu 5: Điểm thi học kì của một học sinh như sau:4;6;2;7;3;5;9;8;7;10;9. Số trung bình và số trung vị lần lượt là

A. 6,22 và 7 

B. 7 và 6                      

C. 6,4 và 7             

D. 6 và 6

Câu 6: Cho mẫu số liệu thống kê \(\left\{ {8,10,12,14,16} \right\}\).Số trung bình của mẫu số liệu trên là

A. 12

B. 14

C. 13

D. 12,5

Qua bài học này, các em cần đạt được những mục tiêu sau:

• Nắm được những tính chất cơ bản nhất về Số trung bình, số trung vị, mốt.
• Giải được các bài tập liên quan.