Toán 10 Chương 1 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Định nghĩa:

• Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$. Lấy một điểm A nào đó, rồi xác định điểm B và C sao cho $\vec {AB}=\vec {a}$; $\vec {BC}=\vec {b}$. Khi đó $\vec {AC}$ là tổng của hai vectơ  $\vec a$ và $\vec b$.

• Ta viết: $\vec {AC}=\vec{a}+\vec{b}$.

Ta có các tính chất sau:

• Tính chất giao hoán: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.

• Tính chất kết hợp: $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.

• Tính chất vectơ-không $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$.

a) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất ki, ta luôn có: 

$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$

b) Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành, ta luôn có:

$\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$

• Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}$

• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$

Nếu tổng của hai vectơ  $\vec a$ và $\vec b$ là vectơ không, thì ta nói vectơ  $\vec a$ là vectơ đối của vectơ  $\vec b$, hoặc ngược lại  vectơ $\vec b$ là vectơ đối của vectơ  $\vec a$

Định nghĩa:

• Vectơ đối của vectơ $\vec a$ là vectơ ngược hướng với  vectơ $\vec a$ và có cùng độ lớn với vectơ $\vec a$.

• Vectơ đối của vectơ-không cũng là chính nó.

Quy tắc hiệu vectơ: Nếu $\vec{AB}$ là một vectơ đã cho và 1 điểm O bất kì, ta luôn luôn có:

$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$

Câu 1: Vẽ hình bình hành ABCD. Hãy nhận xét về độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$

Về độ dài: hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ có cùng độ dài

Về hướng: hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ có hướng ngược nhau.

Câu 2: Cho $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0$. Hãy chứng tỏ $\overrightarrow {BC}$ là vectơ đối của $\overrightarrow {AB}$

Ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {CB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {CB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB} = \overrightarrow {CB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {BC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BC} \end{array}$

Vậy $\overrightarrow {BC}$ là véc tơ đối của $\overrightarrow {AB}$.

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = \vec 0$

Câu 2: Cho tứ giác ABCD. AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = \vec 0$ thì

a) $\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OC} .$

b) $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0$

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB = \sqrt 5 ,AC = 2\sqrt 5$. Độ dài vectơ ${\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }$ bằng:

A. $\sqrt 5$

B. $5\sqrt 5$

C. 25

D. 5

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Cặp vectơ nào trong số các cặp vectơ sau đây không bằng nhau?

A. $\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {MC}$ và $\overrightarrow {AD}$

B. $\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CD}$ và $\overrightarrow {ND}$

C. $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {NC}$ và $\overrightarrow {MB}$

D. $\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}$ và $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}$

Câu 3: Cho tam giác ABC. Vectơ $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}$ có giá trị chứa đường thẳng nào sau đây?

A. Tia phân giác của góc A

B. Đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC

C. Đường trung tuyến qua A của tam giac ABC

D. Đường thẳng BC

Câu 4: Cho 2 điểm phân biệt A và B. Tập hợp các điểm O thỏa mãn $\vec{OA}=\vec{OB}$ là:

A. Trung điểm của AB

B. Là 1 khoảng cách sao cho OA=2OB

C. Mọi vị trí

D. Không tồn tại O

Câu 5: Vectơ đối của tổng sau $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$ là:

A. $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$

B. $\vec{b}-\vec{c}+\vec{a}$

C. $\vec{c}-\vec{b}-\vec{a}$

D. $\vec{a}-\vec{c}+\vec{b}$

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Cách xác định tổng, hiệu hai véctơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành.
• Các tính chất của tổng véctơ, tính chất của véctơ - không.