Toán 10 chương 3 Bài 3: Phương trình đường elip

Cho hai điểm cố định F₁, F₂ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F₁F₂. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho

F₁M+F₂M=2a

Các điểm F₁ và F₂ gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F₁F₂ gọi là tiêu cự của elip.

Cho elip (E) có các tiêu điểm F₁ và F₂. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F₁M+F₂M=2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F₁=(-c;0) và F₂=(c;0). Khi đó phương trình chính tắc của elip là:

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

trong đó b² = a² - c²

• (E) có trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là O
• Các điểm A₁, A₂, B₁, B₂ gọi là các đỉnh của elip
• Đoạn thẳng A₁A₂ gọi là trục lớn, đoạn thẳng B₁B₂ gọi là trục nhỏ của elip.

- Từ hệ thức b² = a² - c² ta thấy nếu tiêu cự càng nhỏ thì b càng gần a, tức là trục nhỏ của elip càng gần trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.

- Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} = {a^2}\). Với mỗi điểm M(x;y) thuộc đường tròn, xét điểm M'(x';y') sao cho \(\left\{ \begin{array}{l} x' = x\\ y' = \frac{b}{a}y \end{array} \right.\left( {0 < b < a} \right)\)

thì tập hợp các điểm M' có tọa độ thỏa phương trình \(\frac{{{x'^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y'^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là một elip (E) 

Ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).

Câu 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của elip có phương trình

\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Hướng dẫn giải

Ta có a2 = 9⇒ a = 3, b2 = 1 ⇒ b = 1

Vậy c2 = a2 - b2 = 9 - 1 = 8 ⇒ c = \(2\sqrt 2 \)

Độ dài trục lớn là A1A2 = 2a = 6

Độ dài trục nhỏ là: B1B2 = 2b = 2

Tiêu điểm là: \({F_1}\left( { - 2\sqrt 2 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 2 ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh là \({A_1}\left( { - 3;0} \right),{A_2}\left( {3;0} \right),{B_1}\left( {0; - 1} \right),{B_2}\left( {0;1} \right)\)

Câu 2: Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a) (E) đi qua điểm \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và M nhìn hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\) dưới một góc vuông.

b) (E) đi qua \(M\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)\) và một tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 60o.

Hướng dẫn giải

a) Do (E) đi qua M nên \(\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\) (1); Lại có \({\widehat {{F_1}MF}_2} = {90^0} \Leftrightarrow OM = \frac{1}{2}{F_1}{F_2} = c \Leftrightarrow c = \sqrt 5 \)

Như vậy ta có  hệ điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\\
{a^2} - {b^2} = 5
\end{array} \right.\). Giải hệ ta được \({a^2} = 9;{b^2} = 4 \Rightarrow (E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

b) Tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 60o nên tam giác FB1B2 đều (B1, B2 là hai đỉnh trên trục nhỏ), suy ra \(c = b\sqrt 3  \Rightarrow a = 2b\), từ đó tìm ra \((E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{9}{4}}} = 1\)

Câu 3: Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm điểm \(M \in (E)\) sao cho \(M{F_1} = 2M{F_2}\).

Hướng dẫn giải

Gọi \(M(x;y) \Rightarrow M{F_1} = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x;M{F_2} = 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\). Từ \(M{F_1} = 2M{F_2} \Rightarrow x = \frac{4}{{3\sqrt 3 }}\)

Từ đó tìm ra \(y =  \pm \frac{{\sqrt {23} }}{{3\sqrt 3 }}\). Vậy có hai điểm M cần tìm là \(M\left( {\frac{4}{{3\sqrt 3 }}; \pm \frac{{\sqrt {23} }}{{3\sqrt 3 }}} \right)\).

Câu 1: Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:

a) \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1\) 

b) \(9x^2 + 4y^2 = 1\)

c) \(25x^2 + 4y^2 = 9\)

Câu 2: Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a)  Trục lớn và trục nhỏ lần lươt  là 12 và 9

b) Trục lớn bằng 15 và tiêu cự bằng 12

Câu 3: Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Elip đi qua các điểm M(-1;2) và \(N(1;-\frac{7}{3})\)

b) Elip có một tiêu điểm là \(F_1(\sqrt{2};0)\) và điểm \(M(2;\frac{\sqrt{4}}{3})\) nằm trên elip.

Câu 1: Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lơn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{36} = 1\)

B. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

C. \(\frac{{{x^2}}}{{9}} + \frac{{{y^2}}}{16} = 1\)

D. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Câu 2: Phương trình của elip có 1 tiêu điểm F2(1;0) và đi qua điểm M(2; -2/√5) là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\)

B. 4x²+5y²=1

C. \(\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

D. 5x²+4y²=1

Câu 3: Cho elip có phương trình 4x²+9y²=36. Khi đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng:

A. 6

B. 12

C. 24

D. 36

Câu 4:  Cho elip (E) có phương trình

\(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Đường thẳng nào sau đây cắt (E) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Oy?

A. y=2x

B. y=3

C. x=3

D. y=10

Câu 5: Cho elip (E) có phương trình

\(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

với hai tiêu điểm là F₁,F₂. Với điểm M bất kì trên (E) thì chu vi tam giác MF1F2là:

A. 50

B. 36

C. 34

D. Thay đổi phụ thuộc vào vị trí M

4. Kết luận

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Những nội dung cơ bản nhất về Phương trình đường elip
• Phương pháp giải các dạng toán liên quan đến đường elip.