Toán 10 Ôn tập chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Elib đã biên soạn và tổng hợp để giới thiệu đến các em nội dung bài giảng Ôn tập chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng. Bài giảng giúp các em nắm vững lý thuyết bài học, kèm theo đó là những bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hiểu bài hơn. Mời các em cùng theo dõi.
Mục lục nội dung
Toán 10 Ôn tập chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Giá trị lượng giác của một góc
Với mỗi góc α(0o≤α≤180o)α(0o≤α≤180o), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn sao cho ^MOx=αˆMOx=α. Giả sử điểm M(x;y). Khi đó:
- Tung độ y của điểm M được gọi là sin của góc αα, ta kí hiệu là sinαsinα
- Hoành độ x của điểm M được gọi là cosin của góc αα, ta kí hiệu là cosαcosα.
- Tỉ số yxyx (x≠0)(x≠0) được gọi là tan của góc αα, ta kí hiệu là tanαtanα
- Tỉ số xyxy (y≠0)(y≠0) được gọi là côtan của góc αα, ta kí hiệu là cotαcotα
1.2. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ
- Tích vô hướng của hai vectơ →a→a và →b→b là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là →a.→b→a.→b và được xác định bởi công thức
→a.→b=|→a|.|→b|.cos(→a,→b)→a.→b=|→a|.|→b|.cos(→a,→b)
- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Cho hai vectơ →a(x;y);→b(x′;y′). Khi đó:
- →a.→b=xx′+yy′
- |→a|=√x2+y2
- cos(→a;→b)=xx′+yy′√x2+y2.√x′2+y′2,→a≠→0;→b≠→0
- →a⊥→b⇔xx′+yy′=0
1.3. Định lí cosin trong tam giác
- Trong tam giác ABC, gọi Ab=c;AC=b;BC=a, ta có:
- a2=b2+c2−2bc.cosA
- b2=a2+c2−2ac.cosB
- c2=a2+b2−2ab.cosC
- Từ đó, ta có hệ quả sau:
- cosA=b2+c2−a22bc
- cosB=a2+c2−b22ac
- cosC=a2+b2−c22ab
1.4. Định lí sin
- a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
- asinA=bsinB=csinC=2R
1.5. Công thức trung tuyến của tam giác
- m2a=b2+c22−a24
- m2b=a2+c22−b24
- m2c=a2+b22−c24
1.6. Công thức tính diện tích tam giác mở rộng
- S=12a.ha=12b.hb=12c.hc
- S=12ab.sinC=12ac.sinB=12bc.sinA
- S=abc4R
- S=pr
- S=√p(p−a)(p−b)(p−c)
2. Bài tập minh họa
Câu 1: Cho tam giác ABC có AB=4, AC=6, ˆA=600. Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
BC2=AB2+AC2−2AB.AC.cosA
=42+62−2.4.6.cos600=28
⇒BC=√28=2√7
Ta có
S=12AB.AC.sinA =12.4.6.sin600=6√3S=abc4R
⇒R=abc4S=4.6.2√74.6√3=2√213
Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;2), B(3;−4). Gọi M là trung điểm của AB.
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. Tính khoảng cách từ điểm N(−2;1) đến đường thẳng AB.
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với đường thẳng Δ:3x+y−5=0.
Hướng dẫn giải
a) →AB=(2;−6)
Đường thẳng AB nhận →AB=(2;−6) làm VTCP suy ra VTPT của AB là →n=(6;2)
Đường thẳng AB đi qua A(1;2) và có VTPT là →n=(6;2), nên có phương trình tổng quát là 6(x−1)+2(y−2)=0
⇔6x+2y−10=0
d(N,AB)=|ax0+by0+c|√a2+b2
=|6.(−2)+2.1−10|√62+22=√10
b) M(2;−1)
VTPT của đường thẳng Δ là →nΔ=(3;1)
d vuông góc với Δ nên d nhận VTPT của Δ là →nΔ=(3;1) làm VTCP
Suy ra VTPT của d là →n=(1;−3).
d đi qua M(2;−1) và có VTPT là →n=(1;−3) nên có phương trình tổng quát là 1(x−2)−3(y+1)=0⇔x−3y−5=0
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy cho vecto →a=(−5;2) và vecto →b=(3;−2) . Hãy tính tích vô hướng →a.→b.
Câu 2: Từ hệ thức a2=b2+c2−2bc.cosA trong tam giác, hãy suy ra định lí Py-ta-go.
Câu 3: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tam giác ABC có b=7, c=5 và cosA=35. Diện tích tam giác ABC là:
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
Câu 2: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a là:
A. a√34
B. a√35
C. a√36
D. a√37
Câu 3: Cho tam giác ABC có diện tích S. Nếu tăng độ dài cạnh a lên 3 lần, tăng độ dài cạnh b lên 2 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì diện tích tam giác mới đc tạo nên là:
A. 3S
B. 4S
C. 5S
D. 6S
Câu 4: Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng?
A. 60
B. 90
C. 150
D. 120
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(−1;1),B(2;4),C(6;0). Tam giác ABC là tam giác gì?
A. Tam giác nhọn
B. Tam giác vuông
C. Tam giác tù
D. Tam giác đều
3.3. Trắc nghiệm Online
Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Ôn tập chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng Toán 10 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.
4. Kết luận
Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:
- Hệ thống lại tất cả các kiến thức đã được học ở chương Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
- Làm được các bài tập của chương.