Toán 10 Ôn tập chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Với mỗi góc \(\alpha(0^o\leq \alpha\leq 180^o)\), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn sao cho \(\widehat{MOx}=\alpha\). Giả sử điểm M(x;y). Khi đó:

• Tung độ y của điểm M được gọi là sin của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(sin\alpha\)
• Hoành độ x của điểm M được gọi là cosin của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(cos\alpha\).
• Tỉ số  \(\frac{y}{x}\) \((x\neq 0)\) được gọi là tan của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(tan\alpha\)
• Tỉ số  \(\frac{x}{y}\) \((y\neq 0)\) được gọi là côtan của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(cot\alpha\)

- Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là \(\vec a.\vec b\) và được xác định bởi công thức

\(\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )\)

- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Cho hai vectơ \(\vec{a}(x;y);\vec{b}(x';y')\). Khi đó:

• \(\vec{a}.\vec{b}=xx'+yy'\)
• \(|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
• \(cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x'^2+y'^2}},\vec{a}\neq \vec{0};\vec{b}\neq \vec{0}\)
• \(\vec{a}\perp \vec{b}\Leftrightarrow xx'+yy'=0\)

- Trong tam giác ABC, gọi \(Ab=c;AC=b;BC=a\), ta có:

• \(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)
• \(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\)
• \(c^2=a^2+b^2-2ab.cosC\)

- Từ đó, ta có hệ quả sau: 

• \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
• \(cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
• \(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

• \(a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC\)
• \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\)

• \(m_{a}^{2}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
• \(m_{b}^{2}=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)
• \(m_{c}^{2}=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\)

• \(S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c\)
• \(S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}ac.sinB=\frac{1}{2}bc.sinA\)
• \(S=\frac{abc}{4R}\)
• \(S=pr\)
• \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

2. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=4\), \(AC=6\), \(\widehat{A}={{60}^{0}}\). Tính độ dài cạnh \(BC\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).  

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

\(B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos A\) 

\(={{4}^{2}}+{{6}^{2}}-2.4.6.\text{cos6}{{0}^{0}}=28\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\)

 Ta có

\(S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\\\ = \frac{1}{2}.4.6.\sin {{60}^{0}}=6\sqrt{3}\\ S=\frac{abc}{4R}\)

\(\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{4.6.2\sqrt{7}}{4.6\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{21}}{3}\)

Câu 2: Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(A\left( 1;2 \right)\), \(B\left( 3;-4 \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\).  Tính khoảng cách từ điểm \(N\left( -2;1 \right)\) đến đường thẳng \(AB\).   
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\,\,3x+y-5=0\).

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;-6 \right)\)

Đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;-6 \right)\) làm VTCP  suy ra VTPT của \(AB\) là \(\overrightarrow{n}=\left( 6;2 \right)\)

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( 1;2 \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow{n}=\left( 6;2 \right)\), nên có phương trình tổng quát là \(6\left( x-1 \right)+2\left( y-2 \right)=0\) 

\(\Leftrightarrow 6x+2y-10=0\)

\(d\left( N,AB \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)

\(=\frac{\left| 6.\left( -2 \right)+2.1-10 \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{10}\)

b) \(M\left( 2;-1 \right)\)

VTPT của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left( 3;1 \right)\)

\(d\) vuông góc với \(\Delta \) nên \(d\) nhận VTPT của \(\Delta \) là \(\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left( 3;1 \right)\)  làm VTCP

Suy ra VTPT của \(d\) là \(\overrightarrow{n}=\left( 1;-3 \right)\).

\(d\) đi qua \(M\left( 2;-1 \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow{n}=\left( 1;-3 \right)\) nên có phương trình tổng quát là    \(1\left( x-2 \right)-3\left( y+1 \right)=0\\ \Leftrightarrow x-3y-5=0\)

Câu 1: Trong mặt phẳng \({\rm{Oxy}}\) cho vecto \(\vec a = ( - 5;2)\) và vecto \(\vec b = (3;-2)\) . Hãy tính tích vô hướng \(\vec a.\vec b.\)

Câu 2: Từ hệ thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\) trong tam giác, hãy suy ra định lí Py-ta-go.

Câu 3: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có  \(a = 2R\sin A;b = 2R\sin B;c = 2R\sin C\), trong đó \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 1: Tam giác ABC có b=7, c=5 và \(cosA=\frac{3}{5}\). Diện tích tam giác ABC là:

A. \(14\)

B. \(15\)

C. \(16\)

D. \(17\)

Câu 2: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a là:

A. \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

B. \(\frac{a\sqrt{3}}{5}\)

C. \(\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

D. \(\frac{a\sqrt{3}}{7}\)

Câu 3: Cho tam giác ABC có diện tích S. Nếu tăng độ dài cạnh a lên 3 lần, tăng độ dài cạnh b lên 2 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì diện tích tam giác mới đc tạo nên là:

A. 3S

B. 4S

C. 5S

D. 6S

Câu 4: Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng?

A. 60

B. 90

C. 150

D. 120

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm \(A(-1;1),B(2;4),C(6;0)\). Tam giác ABC là tam giác gì?

A. Tam giác nhọn

B. Tam giác vuông

C. Tam giác tù

D. Tam giác đều

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Hệ thống lại tất cả các kiến thức đã được học ở chương Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
• Làm được các bài tập của chương.