Toán 10 Chương 3 Bài 1: Phương trình đường thẳng

- Vectơ \(\overrightarrow u \) được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng \(\Delta\) nếu \(\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 \) và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng \(\Delta\) 

- Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua M₀(x₀;y₀) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta\):

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + t{u_1}\\
y = {y_0} + t{u_2}
\end{array} \right.\)

- Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên \(\Delta \).

- Liên hệ giữa VTCP và hệ số góc của đường thẳng: Cho \(\Delta\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\) với \({u_1} \ne 0\) thì có hệ số góc là \(k = \frac{{{u_1}}}{{{u_2}}}\)

Phương trình \(\Delta\) đi qua M0(x₀;y₀) và có hệ số góc k: 

y-y₀=k(x-x₀)

- Vectơ \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \), có giá vuông góc với đường thẳng \(\Delta\) gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng \(\Delta\)

- Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua M0(x₀;y₀) và nhận làm vectơ pháp tuyến thì phương trình tổng quát của \(\Delta\) là:

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

- Tổng quát: Phương trình ax+by+c=0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

- Nhận xét: Nếu đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là ax+by+c=0 thì có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là và VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( { - b;a} \right)\)

- Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

• Đường thẳng \(by+c=0\) song song hoặc trùng với Ox
• Đường thẳng \(ax+c=0\) song song hoặc trùng với Oy
• Đường thẳng \(ax+by=0\) đi qua gốc tọa độ

- Cho hai phương trình đường thẳng:                        

\(\begin{array}{l} {\Delta_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\ {\Delta_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0 \end{array}\)

- Tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0
\end{array} \right.{\rm{    }}\left( {\rm{I}} \right)\)

Ta có các trường hợp:

a) Hệ (I) có một nghiệm (x0;y0) thì \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) tại điểm M0(x0;y0)

b) Hệ (I) vô số nghiệm thì \({\Delta _1}\) trùng với \({\Delta _2}\)

c) Hệ (I) vô nghiệm thì \({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\)

- Cho hai đường thẳng
\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) (có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right)\))

\({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) (có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right)\))

\({\rm{cos}}\widehat {\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)} = c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

- Khoảng cách từ điểm M₀(x₀;y₀) đến đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là ax+by+c=0

\(d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Câu 1: Hãy tìm tọa độ của VTCP của đường thẳng có phương trình 3x + 4y + 5 = 0

Hướng dẫn giải

Đường thẳng có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)\) suy ra VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( { - 4;3} \right)\)

Câu 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua 2 điểm A(-2;3) và B(5;-6)

Hướng dẫn giải

(d) đi qua A(-2;3) và có VTCP là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {7; - 9} \right)\) suy ra VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {9;7} \right)\)

PTTQ của (d) có dạng:

\(\begin{array}{l}
a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 9\left( {x + 2} \right) + 7\left( {y - 3} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 9x + 7y - 3 = 0
\end{array}\)

Câu 3: Xét vị trí tương đối của \(\Delta :x - 2y + 1 = 0\) với mỗi đường thẳng sau:

\(\begin{array}{l}
{d_1}: - 3x + 6y - 3 = 0\\
{d_2}:y =  - 2x
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

Xét \(\Delta \) với d1, hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + 1 = 0\\ - 3x + 6y - 3 = 0 \end{array} \right.\)

có vô số nghiệm vì các hệ số của 2 phương trình tỉ lệ)

Suy ra \(\Delta  \equiv {d_1}\)

Xét \(\Delta \) với d2, hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + 1 = 0\\ y = - 2x \end{array} \right.\)

có nghiệm \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5}} \right)\)

Suy ra \(\Delta \) cắt d2 tại \(M\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5}} \right)\)

Câu 4: Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1) đến đường thẳng \(\Delta \) có phương trình 3x - 2y - 1 = 0

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {3.\left( { - 2} \right) - 2.1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{9\sqrt 5 }}{5}\)

Câu 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d\) đi qua điểm \(M(3;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (4;5)\)

b) \(d\) đi qua điểm \(M( - 3;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (4;-1)\)

Câu 2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau: 

a) \(\Delta \) đi qua điểm \(M( - 2; - 5)\) và có hệ số góc \(k =  - 2\)

b) \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A(3;-1)\) và \(B( - 3;7)\)

Câu 3: Cho tam giác ABC, biết \(A(2;5),B(4; - 2)\) và \(C(5;1)\)

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC, và CA 

b) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng AH và phương trình tổng quát của trung tuyến AM 

Câu 4: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(M(3;0)\) và \(N(0; - )\).

Câu 1: Cho đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;5} \right)\). Vectơ nào dưới đây không phải là VTCP của Δ?

A. \(\overrightarrow u_1  = \left( { 3;-5} \right)\)

B. \(\overrightarrow u_2  = \left( { -6;10} \right)\)

C. \(\overrightarrow u_3  = \left( { 1;5/3} \right)\)

D. \(\overrightarrow u_4  = \left( { 5;3} \right)\)

Câu 2: Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(2; 3) và có hệ số góc k = 4 là:

A. y=4(x-2)+3

B. 4x-y-5=0

C. \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = 3 + 4t
\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 3t\\
y = 3 + t
\end{array} \right.\)

Câu 3: Cho điểm A(-2; 1) và hai đường thẳng d1: 3x – 4y + 2 = 0 và d2: mx + 3y – 3 = 0. Giá trị của m để khoảng cách từ A đến hai đường thẳng bằng nhau là:

A. m=±1

B. m = 1 và m = 4

C. m=±4

D. m = - 1 và m = 4

Câu 4: Cho tam giác ABC với A(-2; 3), B(1; 4), C(5; -2). Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác là:

A. x – 2y + 8 = 0

B. 2x + 5y – 11 = 0

C. 3x – y + 9 = 0

D. x + y – 1 = 0

Câu 5: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 3x – y + 4 = 0, AC: x + 2y – 4 = 0, BC: 2x + 3y – 2 = 0. Khí đó diện tích của tam giác ABC là:

A. 1/77

B. 338/77

C. 38/77

D. 380/77

3.3. Trắc nghiệm Online

4. Kết luận

Thông qua bài học này các em cần nắm được những nội dung sau:

• Cách viết phương trình tham số của đường thẳng.
• Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng.
• Tính được góc giữa hai đường thẳng.
• Tính được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.