Toán 10 Chương 1 Bài 4: Hệ trục tọa độ

Trục tọa độ: Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc \(O\) và một vec tơ đơn vị \(\vec e\)

Tọa độ của một điểm: Ứng với mỗi điểm \(M\) trên trục tọa độ thì có một số thực \(k\) sao cho

\(\overrightarrow {OM}  = k\overrightarrow e \)

Số \(k\) được gọi là tọa độ của điểm \(M\) đối với trục đã cho.

Độ dài đại số: Cho hai điểm \(A,B\) trên trục số, tồn tại duy nhất một số \(a\) sao cho \(\overrightarrow {AB}  = a\overrightarrow e \)

\(a\) được gọi là độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow {AB} \), kí hiệu \(a = \overrightarrow {AB} \).

Chú ý:

- Nếu vectơ \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng với vec tơ đơn vị \(\vec e\) của trục thì \(\overline {AB}  > 0\), còn nếu  \(\overrightarrow {AB} \)  ngược hướng với vec tơ đơn vị  \(\vec e\)  thì \(\overline {AB}  <0\)

- Nếu điểm \(A\) có tọa độ trên trục là \(a\) và điểm \(B\) có tọa độ là \(b\) thì 

\(\overline {AB} =b-a\)

Định nghĩa: Hệ trục tọa độ \(\left( {0;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) gồm hai trục \(\left( {0;\overrightarrow i } \right)\) và \(\left( {0;\overrightarrow j } \right)\) vuông góc với nhau.

• \(O\) là gốc tọa độ
• \(\left( {0;\overrightarrow i } \right)\) là trục hoành
• \(\left( {0;\overrightarrow j } \right)\) là trục tung
• \(|\overrightarrow i | = |\overrightarrow j |=1\)

Mặt phẳng được trang bị một hệ tọa độ được gọi là mặt phẳng tọa độ.

Đối với hệ trục tọa độ \((O;\vec{i};\vec{j})\), nếu \(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\) thì cặp số \((x;y)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{a}\), kí hiệu là \(\vec{a}=(x;y)\) hoặc \(\vec{a}(x;y)\). x là hoành độ, y là tung độ của vectơ \(\vec{a}\)

Từ định nghĩa trên, ta có nhận xét:

\(\vec{a}=(x;y)=\vec{b}=(x';y')\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'\\ y=y' \end{matrix}\right.\)

Trong mặt phẳng Oxy, tọa độ của vectơ \(\vec{OM}\) chính là tọa độ của điểm \(M(x_M;y_M)\)

Một cách tổng quát, ta có:

Với hai điểm \(M(x_M;y_M)\) và \(N(x_N;y_N)\) thì ta có:

\(\vec{MN}=(x_N-x_M;y_N-y_M)\)

• Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

\(x_M=\frac{x_a+x_B}{2};y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\)

• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì:

\(x_G=\frac{x_a+x_B+x_C}{3};y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\)

Câu 1: Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b \) theo hai vectơ \(\overrightarrow i ;\,\overrightarrow j \) trong hình (h.1.23)

\(\eqalign{
& \overrightarrow a = 4\overrightarrow i + 2\overrightarrow j \cr
& \overrightarrow b = - 4\overrightarrow j = 0\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \cr} \)

Câu 2: Tìm tọa độ của các điểm A, B, C trong hình 1.26. Cho ba điểm D(-2; 3), E(0; -4), F(3; 0). Hãy vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy.

\(A(4; 2)\)

\(B(-3; 0)\)

\(C(0; 2)\)

Câu 3: Hãy chứng minh công thức:

Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\)

Ta có:

\(\eqalign{
& B\left( {{x_B};{y_B}} \right) \Leftrightarrow  \overrightarrow {OB} = {x_B}\overrightarrow i + {y_B}\overrightarrow j \cr
& A\left( {{x_A};{y_A}} \right) \Leftrightarrow  \overrightarrow {OA} = {x_A}\overrightarrow i + {y_A}\overrightarrow j \cr
& \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} \cr&= ({x_B}\overrightarrow i + {y_B}\overrightarrow j ) - ({x_A}\overrightarrow i + {y_A}\overrightarrow j ) \cr
& = ({x_B} - {x_A})\overrightarrow i \, + ({y_B} - {y_A})\overrightarrow j \cr} \)

Vậy:  \(\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};\,{y_B} - {y_A})\)

Câu 4: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ OG theo ba vectơ \(\overrightarrow {OA};\,\overrightarrow {OB} ;\,\overrightarrow {OC} \) .Từ đó hãy tính tọa độ điểm G theo tọa độ của A, B và C.

Ta có:

Với G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm O ta có:

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \) (phần 3b trang 15 SGK Hình học 10)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \end{array}\)

Mà

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A};{y_A}} \right),\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_B};{y_B}} \right),\\\overrightarrow {OC}  = \left( {{x_C};{y_C}} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  = \left( {\frac{{{x_A}}}{3};\frac{{{y_A}}}{3}} \right)\\\frac{1}{3}\overrightarrow {OB}  = \left( {\frac{{{x_B}}}{3};\frac{{{y_B}}}{3}} \right)\\\frac{1}{3}\overrightarrow {OC}  = \left( {\frac{{{x_C}}}{3};\frac{{{y_C}}}{3}} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \\ = \left( {\frac{{{x_A}}}{3} + \frac{{{x_B}}}{3} + \frac{{{x_C}}}{3};\frac{{{y_A}}}{3} + \frac{{{y_B}}}{3} + \frac{{{y_C}}}{3}} \right)\\ = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\end{array}\)

Vậy \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)

Câu 1: Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau, nếu sai hãy giải thích:

1. Hai vectơ  \(\vec a(2; - 3)\) và vectơ \(\vec b( - 3;2)\)  là hai vectơ bằng nhau.

2. Hai vectơ bằng nhau khi chúng có tọa độ bằng nhau.

3. Hai vectơ \(\vec a\)  và \(\vec b\) cùng phương nếu chúng có tung độ bằng nhau.

Câu 2: Biểu diễn các vectơ sau lên cùng một mặt phẳng tọa độ \(\vec a =  - 3\vec i\),  \(\vec b = 4\vec j\), \(\vec c = 3\vec i - 2\vec j\) , \(\vec d = \frac{1}{3}\vec i + 2\vec j\)

Câu 3: Chứng minh 3 điểm  \(A(5;2);B(1;4);C( - 3;5)\) thẳng hàng.

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ. Cho 3 điểm \(A(2;3);B(5;2);C(6; - 1)\) . 

1. Tìm tọa độ trung điểm M của AC.

2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

3. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Câu 1: Cho 3 điểm \(A(2;1);B(4;-3);C(5;-1)\). Tọa độ trọng tâm G của tam giác là?

A. \(G\left ( \frac{11}{3};-1 \right )\)

B. \(G\left ( \frac{11}{3};1 \right )\)

C. \(G\left ( \frac{13}{3};1 \right )\)

D. \(G\left ( -\frac{13}{3};1 \right )\)

Câu 2: Cho hai điểm \(A(1;1);B(-3;0)\). Tọa độ điểm C đối xứng với A qua B là:

A. \(C(1;-2)\)

B. \(C(-2;4)\)

C. \(C(-7;-1)\)

D. \(C(5;2)\)

 Câu 3: Cho \(\vec{a}=\frac{1}{4}\vec{i}+k\vec{j}; \vec{b}=2\vec{i}\). Giá trị của k để hai vectơ trên cùng phương là:

A. \(k=8\)

B. \(k=4\)

C. \(k=2\)

D. \(k=0\)

Câu 4: Cho 3 điểm \(A(-2;3);B(5;1)C(2;0)\). Tọa độ của điểm D để ABCD là hình bình hành là:

A. \(D(1;4)\)

B. \(D(9;-2)\)

C. \(D(-5;2)\)

D. \(D(-6;1)\)

Câu 5: Cho 2 điểm \(A(2;2);B(5;-3)\). Tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng là?

A. \(C\left ( 0;\frac{13}{3} \right )\)

B. \(C\left ( 0;\frac{14}{3} \right )\)

C. \(C\left ( 0;\frac{16}{3} \right )\)

D. \(C\left ( 0;\frac{17}{3} \right )\)

Câu 6: Vectơ nào sau đây cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;7} \right)\)

A. \(\overrightarrow {{v_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\)

B. \(\overrightarrow {{v_2}}  = \left( {1; - \frac{7}{3}} \right)\)

C. \(\overrightarrow {{v_3}}  = \left( {3;7} \right)\)

D. \(\overrightarrow {{v_4}}  = \left( { - 3; - 7} \right)\)

Câu 7: Cho hai điểm A(2; -1), B(3; 0), điểm nào sau đây thẳng hàng với A, B?

A. \({C_1}\left( {0; - 7} \right)\)

B. \({C_2}\left( {0; - 3} \right)\)

C. \({C_3}\left( {0; - 5} \right)\)

D. \({C_4}\left( {0; - 1} \right)\)

Câu 8: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. M, N, P lần lượt là trung điểm cách cạnh BC, CA, AB. Biết M(1; 2); N(3; – 5); P(5; 7). Tọa độ đỉnh A là:

A. A(7; 9)

B. A(– 2; 0)  

C. A(7; – 2)

D. A(7; 0)

Câu 9: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(–1; 1); B(1; 2); C(4; 0). Tìm tọa độ điểm M sao cho ABCM là hình bình hành là:

A. M(2; 1)

B. M(2; –1)

C. M(–1; 2)

D. M(1; 2)

Câu 10: Cho tam giác ABC có A(–2; 2), B(6; –4), đỉnh C thuộc trụ Ox. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, biết rằng G thuộc trục Oy)

A. \(G\left( {0;\frac{2}{3}} \right)\)

B. \(G\left( {0; - \frac{2}{3}} \right)\)

C. \(G\left( {3; - \frac{2}{3}} \right)\)

D. \(G\left( { - 3; - \frac{2}{3}} \right)\)

Bài Hệ trục tọa độ giúp các em tìm hiểu nhiều hơn về biểu diễn tọa độ của vectơ.