Toán 10 Chương 3 Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Phương pháp giải

- Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:

• Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
• Bình phương hai vế.
• Đặt ẩn phụ.             

- Phương trình dạng $\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|$ ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau

$\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) \\= g(x)\\f(x) =  - g(x)\end{array} \right.$  hoặc $\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow {f^2}(x) = {g^2}(x)$

- Đối với phương trình dạng $\left| {f(x)} \right| = g(x)$(*) ta có thể biến đổi tương đương như sau

$\left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x) \ge 0\\{f^2}(x) = {g^2}(x)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x) \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) = - g(x)\end{array} \right.\end{array} \right.$

Hoặc $\left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(x) = g(x)}\\{f(x) \ge 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - f(x) = g(x)}\\{f(x) < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$

Câu 1: Giải các phương trình sau: $\left| {3x + 2} \right| = \left| {{x^2} - 4x - 5} \right|$.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình 

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2 = {x^2} - 4x - 5}\\{3x + 2 = - \left( {{x^2} - 4x - 5} \right)}\end{array}} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 7x - 7 = 0}\\{{x^2} - x - 3 = 0}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{7 \pm \sqrt {77} }}{2}}\\{x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}}\end{array}} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{{7 \pm \sqrt {77} }}{2}$ và $\frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}$.

Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường

- Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không)

- Đặt ẩn phụ

Câu 2: Tìm số nghiệm của các phương trình sau: $\frac{{4x + 3}}{{x + 1}} = \frac{{3x + 4}}{{x - 2}}$      

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: $x \ne  1$  và $x \ne 2$ .

Phương trình tương đương với 

$\left( {4x + 3} \right)\left( {x - 2} \right) = \left( {3x + 4} \right)\left( {x + 1} \right) \\ \Leftrightarrow 4{x^2} -5 x - 6 = 3{x^2} +7x + 4$

$\Leftrightarrow {x^2} -12x -10 = 0 \Leftrightarrow x = 6 \pm \sqrt {46}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là $x =  6 \pm 2\sqrt {46}$.

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

• $\sqrt {f(x)}  = \sqrt {g(x)}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) \ge 0\,\,(hoac\,\,g(x) \ge 0)\end{array} \right.$

• $\sqrt {f(x)}  = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) = {\left[ {g(x)} \right]^2}\\g(x) \ge 0\end{array} \right.$

Câu 3: Giải các phương trình $\left| {2x - 4} \right| - 2x + 4 = 0$

Hướng dẫn giải

Ta có $\left| {2x - 4} \right| - 2x + 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left| {2x - 4} \right| = 2x - 4$

$\Leftrightarrow 2x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$ .

Câu 1: Giải các phương trình sau:

a) $\left| {3x - 1} \right| = \left| {{x^2} - 4x - 5} \right|$.                                                  

b) $\left| {4x - 1} \right| = 1 - 4x$

c) $\left| {{x^2} - 4x - 3} \right| = x - 2$                                                                                    

Câu 2: Tìm số nghiệm của các phương trình sau

a) $\frac{{3x + 2}}{{4x + 3}} = \frac{{2x -1}}{{2x - 3}}$      

b) $1 + \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{-3}}{{x + 2}} - \frac{{3}}{{(1 - x)(x + 2)}}$.          

Câu 3: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt {x - 4}  = 2x - 5.$   (1)

b) $\sqrt {{x^2} + 3x + 10}  = \sqrt {3 - x}$

Câu 1: Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để phương trình $\frac{{{x^2} + mx + 2}}{{{x^2} - 1}} = 1$ vô nghiệm?

A. $0.$

B. $1.$

C. $2.$

D. $3.$

Câu 2: Tập nghiệm $S$ của phương trình $\left| {3x - 2} \right| = 3 - 2x$ là:

A. $S = \left\{ { - 1;1} \right\}.$

B. $S = \left\{ { - 1} \right\}.$

C. $S = \left\{ 1 \right\}.$

D. $S =$$\left\{ 0 \right\}.$

Câu 3: Tập nghiệm $S$ của phương trình $2x + \frac{3}{{x - 1}} = \frac{{3x}}{{x - 1}}$ là:

A. $S = \left\{ {1;\frac{3}{2}} \right\}.$

B. $S = \left\{ 1 \right\}.$

C. $S = \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}.$

D. $S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$

Câu 4: Phương trình $\frac{{2{x^2} - 10x}}{{{x^2} - 5x}} = x - 3$ có bao nhiêu nghiệm?

A. $0.$

B. $1.$

C. $2.$

D. $3.$

Câu 5: Tập nghiệm $S$ của phương trình $\frac{{\left( {{m^2} + 1} \right)x - 1}}{{x + 1}} = 1$ trong trường hợp $m \ne 0$ là:

A. $S = \left\{ {\frac{{m + 1}}{{{m^2}}}} \right\}.$  

B. $S = \emptyset .$

C. $S = \mathbb{R}.$        

D. $S = \left\{ {\frac{2}{{{m^2}}}} \right\}.$

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Ôn tập lại về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, định lý Vi-ét.

• Cách biến đổi một số dạng phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.