Toán 10 Chương 3 Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
Elib đã biên soạn và tổng hợp để giới thiệu đến các em nội dung bài giảng Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai. Bài giảng giúp các em nắm vững lý thuyết bài học, kèm theo đó là những bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hiểu bài hơn. Mời các em cùng theo dõi.
Mục lục nội dung
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Giải và biện luận phương trình dạng \(ax + b = 0\) (1)
\(a≠ 0\) : (1) có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{-b}{a}\).
\(a = 0\); \(b ≠ 0\) (1) vô nghiệm.
\(a=0\); \(b = 0\): (1) nghiệm đúng với mọi \(x ∈\mathbb R\).
Ghi chú: Phương trình \(ax + b = 0\) với \(a ≠ 0\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn \(x\)
1.2. Phương trình bậc hai một ẩn \(ax^2+ bx + c= 0 (a ≠ 0)\) (2)
\(∆ = b^2-4ac\) được gọi là biệt thức của phương trình (2).
- \(∆ > 0\) thì (2) có 2 nghiệm phân biệt \(x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta }}{2a}\)
- \(∆ = 0\) thì (2) có nghiệm kép \(x= -\dfrac{b}{2a}\)
- \(∆ < 0\) thì (2) vô nghiệm.
1.3. Định lí Vi-ét
- Nếu phương trình bậc hai \(ax^2+ bx + c= 0\) \((a ≠ 0)\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thì
\(x_1+x_2= \dfrac{-b}{a}\), \(x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\).
- Đảo lại: Nếu hai số u và v có tổng \(u + v =S\) và tích \(u.v = P\) thì \(u, v\) là các nghiệm của phương trình: \(x^2- Sx + P = 0\).
1.4. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cách giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là đặt các điều kiện xác định để đưa phương trình có dấu giá trị tuyệt đối thành phương trình không dấu giá trị tuyệt đối.
1.5. Phương trình chứa dấu căn
Đường lối chung để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là đặt điều kiện rồi lũy thừa một cách thích hợp hai vế của phương trình để làm mất dấu căn thức.
2. Bài tập minh họa
2.1. Dạng 1: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp giải
- Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
- Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
- Bình phương hai vế.
- Đặt ẩn phụ.
- Phương trình dạng \(\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|\) ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau
\(\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) \\= g(x)\\f(x) = - g(x)\end{array} \right.\) hoặc \(\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow {f^2}(x) = {g^2}(x)\)
- Đối với phương trình dạng \(\left| {f(x)} \right| = g(x)\)(*) ta có thể biến đổi tương đương như sau
\(\left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x) \ge 0\\{f^2}(x) = {g^2}(x)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x) \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) = - g(x)\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Hoặc \(\left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(x) = g(x)}\\{f(x) \ge 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - f(x) = g(x)}\\{f(x) < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)
Câu 1: Giải các phương trình sau: \(\left| {3x + 2} \right| = \left| {{x^2} - 4x - 5} \right|\).
Hướng dẫn giải
a) Phương trình
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2 = {x^2} - 4x - 5}\\{3x + 2 = - \left( {{x^2} - 4x - 5} \right)}\end{array}} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 7x - 7 = 0}\\{{x^2} - x - 3 = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{7 \pm \sqrt {77} }}{2}}\\{x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{{7 \pm \sqrt {77} }}{2}\) và \(\frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}\).
2.2. Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp giải
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường
- Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không)
- Đặt ẩn phụ
Câu 2: Tìm số nghiệm của các phương trình sau: \(\frac{{4x + 3}}{{x + 1}} = \frac{{3x + 4}}{{x - 2}}\)
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: \(x \ne 1\) và \(x \ne 2\) .
Phương trình tương đương với
\(\left( {4x + 3} \right)\left( {x - 2} \right) = \left( {3x + 4} \right)\left( {x + 1} \right) \\ \Leftrightarrow 4{x^2} -5 x - 6 = 3{x^2} +7x + 4\)
\( \Leftrightarrow {x^2} -12x -10 = 0 \Leftrightarrow x = 6 \pm \sqrt {46} \) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 6 \pm 2\sqrt {46} \).
2.3. Dạng 3: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.
-
\(\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) \ge 0\,\,(hoac\,\,g(x) \ge 0)\end{array} \right.\)
-
\(\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) = {\left[ {g(x)} \right]^2}\\g(x) \ge 0\end{array} \right.\)
Câu 3: Giải các phương trình \(\left| {2x - 4} \right| - 2x + 4 = 0\)
Hướng dẫn giải
Ta có \(\left| {2x - 4} \right| - 2x + 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left| {2x - 4} \right| = 2x - 4 \)
\(\Leftrightarrow 2x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\) .
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Giải các phương trình sau:
a) \(\left| {3x - 1} \right| = \left| {{x^2} - 4x - 5} \right|\).
b) \(\left| {4x - 1} \right| = 1 - 4x\)
c) \(\left| {{x^2} - 4x - 3} \right| = x - 2\)
Câu 2: Tìm số nghiệm của các phương trình sau
a) \(\frac{{3x + 2}}{{4x + 3}} = \frac{{2x -1}}{{2x - 3}}\)
b) \(1 + \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{-3}}{{x + 2}} - \frac{{3}}{{(1 - x)(x + 2)}}\).
Câu 3: Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {x - 4} = 2x - 5.\) (1)
b) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 10} = \sqrt {3 - x} \)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\frac{{{x^2} + mx + 2}}{{{x^2} - 1}} = 1\) vô nghiệm?
A. \(0.\)
B. \(1.\)
C. \(2.\)
D. \(3.\)
Câu 2: Tập nghiệm \(S\) của phương trình \(\left| {3x - 2} \right| = 3 - 2x\) là:
A. \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}.\)
B. \(S = \left\{ { - 1} \right\}.\)
C. \(S = \left\{ 1 \right\}.\)
D. \(S = \)\(\left\{ 0 \right\}.\)
Câu 3: Tập nghiệm \(S\) của phương trình \(2x + \frac{3}{{x - 1}} = \frac{{3x}}{{x - 1}}\) là:
A. \(S = \left\{ {1;\frac{3}{2}} \right\}.\)
B. \(S = \left\{ 1 \right\}.\)
C. \(S = \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}.\)
D. \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Câu 4: Phương trình \(\frac{{2{x^2} - 10x}}{{{x^2} - 5x}} = x - 3\) có bao nhiêu nghiệm?
A. \(0.\)
B. \(1.\)
C. \(2.\)
D. \(3.\)
Câu 5: Tập nghiệm \(S\) của phương trình \(\frac{{\left( {{m^2} + 1} \right)x - 1}}{{x + 1}} = 1\) trong trường hợp \(m \ne 0\) là:
A. \(S = \left\{ {\frac{{m + 1}}{{{m^2}}}} \right\}.\)
B. \(S = \emptyset .\)
C. \(S = \mathbb{R}.\)
D. \(S = \left\{ {\frac{2}{{{m^2}}}} \right\}.\)
3.3. Trắc nghiệm Online
Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai Toán 10 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.
4. Kết luận
Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:
-
Ôn tập lại về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, định lý Vi-ét.
-
Cách biến đổi một số dạng phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
