Toán 10 Chương 3 Bài 1: Đại cương về phương trình

Phương pháp giải

- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của \(f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)\) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

- Điều kiện để biểu thức

• \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định là \(f\left( x \right) \ge 0\)

• \(\frac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định là \(f\left( x \right) \ne 0\)

• \(\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}\) xác định là \(f\left( x \right) > 0\)

Câu 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau: \(x + \frac{7}{{{x^2} - 25}} = 8\)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phương trình là \({x^2} - 5 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne 25 \Leftrightarrow x \ne  \pm 5.\)

Câu 2: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

a) \(7x + \sqrt {7x - 6}  = 2\sqrt {6 - 7x}  + 6\)

b) \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 4}  + 2{x^3} = 16\)

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định của phương trình là\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7{\rm{x}} - 6 \ge 0}\\{6 - 7{\rm{x}} \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \frac{6}{7}}\\{x \le \frac{7}{6}}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{6}{7}} \right.\)

Thử vào phương trình thấy \(x = \frac{6}{7}\) thỏa mãn

Vậy tập nghiệp của phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ {\frac{6}{7}} \right\}.\)

b) Điều kiện xác định của phương trình là \( - {x^2} + 4x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow  - {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Thay \({\rm{x}} = 2\) vào thấy thỏa mãn phương trình

Vậy tập nghiệp của phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ 2 \right\}.\)

Phương pháp giải

Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng

• Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.

• Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

• Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

• Bình phương hai vế của phương trình(hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Câu 1: Tìm m để phương trình \(\dfrac{{2mx - 1}}{{x + 1}} = 3\) co nghiệm?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định \(x \ne  - 1\) . Khi đó

\(\dfrac{{2mx - 1}}{{x + 1}} = 3\)

\(\Leftrightarrow 2mx - 1 = 3x + 3 \)

\(\Leftrightarrow \left( {2m - 3} \right)x = 4{\rm{ }}(1)\)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \(2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{3}{2}\) .

Nghiệm của (1) là \(x = \dfrac{4}{{2m - 3}}\) . Nghiệm này là nghiệm của phương trình đã cho khi           

\(\dfrac{4}{{2m - 3}} \ne  - 1 \Leftrightarrow 4 \ne 3 - 2m\)

\(\Leftrightarrow m \ne  - \dfrac{1}{2}\) .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi \(m \ne \dfrac{3}{2}\) và \(m \ne  - \dfrac{1}{2}\) .

Câu 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

a) \(x + \frac{5}{{{4x^2} - 1}} = 9\)                                   

b) \(2 - \sqrt {2 - x}  = \sqrt {x - 1} \)

Câu 2: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

a) \(3x + \sqrt {3x - 2}  = \sqrt {2 - 3x}  + 2\)

b) \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 4}  + {x^3} = 8\)

Câu 3: Tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) \(2 + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{-3}{{{x^2} + x - 6}}\)                                          

b) \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {x - 4} }} = \frac{1}{{\sqrt {x - 4} }} - \sqrt {x - 4} \)

Câu 4: Tìm \(m\) để cặp phương trình sau tương đương

\(m{x^2} - 3\left( {m - 2} \right)x + m - 5 = 0\) (1) và \(\left( {m - 3} \right){x^2} - 6x + {m^2} +7 = 0\) (2)     

Câu 1: Tìm số nghiệm của các phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{1}{{\sqrt {x - 2} }} - \sqrt {x - 2} .\)

A. 1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm 

D. 5 nghiệm

Câu 2: Tìm số nghiệm của các phương trình \(\sqrt {\sqrt x  - 1} ({x^2} - x - 2) = 0.\)

A. 1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 2 nghiệm 

D. 5 nghiệm 

Câu 3: Tìm điều kiện xác định của phương trình \(\frac{5}{{{x^2} - x - 1}} = \sqrt[3]{x}.\)

A. \(x \ge 2\)

B. \(x \in \emptyset \)

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\\begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 2\end{array}\end{array}} \right.\)

D. \(x \ne \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

Câu 4: Tìm điều kiện xác định của phương trình \(1 + \sqrt {2x - 4}  = \sqrt {2 - 4x} .\)

A. \(x \ge 2\)

B. \(x \in \emptyset \)

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\\begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 2\end{array}\end{array}} \right.\)

D. \(x \ne \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

Câu 5: Tìm điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt { - {x^2} + x - 1}  + x = 1.\)

A. \(x \ge \frac{3}{4}\)

B. \(x \in \emptyset \)

C. \(x = 2\)

D. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Biết được ba loại phương trình: phương trình một ẩn, phương trình tương đương, phương trình hệ quả.
• Biết tìm điều kiện và giải phương trình.