Toán 10 Chương 2 Bài 3: Hàm số bậc hai
Mời các em cùng tham khảo nội dung bài giảng Hàm số bậc hai do eLib biên soạn và tổng hợp dưới đây. Bài giảng giúp các em nắm vững lý thuyết bài học, thêm vào đó là những bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm được các dạng bài tập ở phần này.
Mục lục nội dung
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định nghĩa
-
Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) trong đó a, b, c là các hằng số cho trước và \(a \ne 0\).
-
Tập xác định của hàm số bậc hai là R.
-
Hàm số \(y=ax^2\) (a khác 0) mà chúng ta đã học ở lớp dưới là một hàm số bậc hai có đồ thị là một Parabol.
1.2. Đồ thị hàm số bậc hai
a) Nhắc lại về đồ thị \(y=ax^2(a\ne0)\)
-
Đồ thị luôn đi qua gốc tọa độ \(O(0;0).\)
-
Parabol đối xứng nhau qua trục tung.
-
Parabol hướng lên trên khi a dương, và hướng xuống dưới khi a âm.
b) Đồ thị hàm số \(y=ax^2+bx+c(a\ne0)\)
Ta biết rằng:
\(\begin{array}{l} a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + 2\frac{b}{{2x}} + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right) - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + c\\ = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} \end{array}\)
Vì vậy, nếu đặt: \(\Delta = {b^2} - 4ac;p = - \frac{b}{{2a}};q = - \frac{\Delta }{{4a}}\)
Thì hàm số \(y=ax^2+bx+c(a\ne0)\) trở thành \(y = a{\left( {x - p} \right)^2} + q\)
Kết luận:
Đồ thị hàm số \(y=ax^2+bx+c(a\ne0)\) là một Parabol có đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\), nhận đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên khi a dương, bề lõm xuống dưới khi a âm.
1.3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai
-
Khi \(a>0\) hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) và có giá trị nhỏ nhất là \( - \frac{\Delta }{{4a}}\) khi \(x = - \frac{b}{{2a}}.\)
-
Khi \(a<0\) hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) và có giá trị lớn nhất là \( - \frac{\Delta }{{4a}}\) khi \(x = - \frac{b}{{2a}}.\)
2. Bài tập minh họa
Câu 1: Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết \(\left( P \right)\) đi qua \(M(4; 6)\) có đỉnh \(I(2; 4)\).
Hướng dẫn giải
Vì \(M \in \left( P \right)\) nên \(6 = 16a + 4b + c\) (1).
Mặt khác \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I(2;4)\) nên \( - \frac{b}{{2a}} = 2 \Leftrightarrow 4a + b = 0\) (2) và \(I \in \left( P \right)\) suy ra \(4 = 4a + 2b + c\) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}6 = 16a + 4b + c\\4a + b = 0\\4 = 4a + 2b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1/2\\b = - 2\\c = 6\end{array} \right.\)
Vậy \(\left( P \right)\) cần tìm là \(y = 1/2{x^2} - 2x + 6\).
Câu 2: Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(2\) khi \(x = 1\) và nhận giá trị bằng \(1\) khi\(x = 6\).
Hướng dẫn giải
Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(2\) khi \(x = 1\) nên ta có:
\(- \frac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a + b = 0\) (5)
\(2 = a{.1^2} + b.1 + c \Leftrightarrow a + b + c = 2\) (6)
Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) nhận giá trị bằng \(6\) khi\(x = -1\) nên \(a -b + c = 6\)(7)
Từ (5), (6) và (7) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b + c = 2\\a - b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 3\end{array} \right.\)
Vậy \(\left( P \right)\) cần tìm là \(y = {x^2} -2 x + 3\).
Câu 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 2\sqrt 2 x\)
Hướng dẫn giải:
Ta có \( - \frac{b}{{2a}} = \sqrt 2 ,\,\, - \frac{\Delta }{{4a}} = 2\)
Bảng biến thiên:
Suy ra đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 2\sqrt 2 x\) có đỉnh là \(I\left( {\sqrt 2 ;2} \right)\), đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right),\,\,B\left( {2\sqrt 2 ;0} \right)\)
Nhận đường thẳng \(x = \sqrt 2 \) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết \(\left( P \right)\) đi qua \(A(-2; 4)\) có đỉnh \(I(2;-2)\).
Câu 2: Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{2}{3}\) khi \(x = \frac{1}{3}\) và nhận giá trị bằng \(3\) khi\(x = 1\).
Câu 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = {x^2} + 5x + 6\)
b) \(y = {x^2} + 3\sqrt 3 x\)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Hàm số nào sau đây nghịch biến trong khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\)?
A. \(y = \sqrt 2 {x^2} + 1\)
B. \(y = - \sqrt 2 {x^2} + 1\)
C. \(y = \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2}\)
D. \(y = - \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2}\)
Câu 2: Cho hàm số: \(y = {x^2} - 2x + 3\). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?
A. y tăng trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\)
B. y giảm trên \(\left( { - \infty ;\,2} \right)\)
C. Đồ thị của y có đỉnh I(1;0)
D. y tăng trên \(\left( {2;\, + \infty } \right)\)
Câu 3: Tung độ đỉnh I của parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 4x + 3\) là:
A. -1
B. 1
C. 5
D. -5
Câu 4: Hàm số nào sau đây có giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{3}{4}\)?
A. \(y = 4{x^2}-3x{\rm{ }} + 1\)
B. \(y = - {x^2} + \frac{3}{2}x + 1\)
C. \(y = -2{x^2} + 3x + 1\)
D. \(y = {x^2} - \frac{3}{2}x + 1\)
Câu 5: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + 4x + 2\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. y giảm trên \(\left( {2;\, + \infty } \right)\)
B. y giảm trên \(\left( { - \infty ;\,2} \right)\)
C. y tăng trên \(\left( {2;\, + \infty } \right)\)
D. y tăng trên \(\left( { - \infty ;\,2} \right)\)
3.3. Trắc nghiệm Online
Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Hàm số bậc hai Toán 10 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.
4. Kết luận
Qua bài học này, các em cần nắm được các nội dung sau:
-
Khái niệm hàm số bậc hai.
-
Cách khảo sát hàm số bậc hai.
