Toán 10 Chương 2 Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ
Elib đã biên soạn và tổng hợp để giới thiệu đến các em nội dung bài giảng Tích vô hướng của hai vectơ. Bài giảng giúp các em nắm vững lý thuyết bài học, kèm theo đó là những bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hiểu bài hơn. Mời các em cùng theo dõi.
Mục lục nội dung
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định nghĩa:
- Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là \(\vec a.\vec b\) và được xác định bởi công thức
\(\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )\)
- Bình phương vô hướng: Với mỗi vectơ \(\vec a\) tùy ý, tích vô hướng \(\vec a.\vec a\) được kí hiệu là \(|\vec a|^2\) được gọi là bình phương vô hướng.
\(\vec a^2=|\vec a|.|\vec a|.cos0^o=|\vec a|^2\)
Như vậy: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.
1.2. Các tính chất của tích vô hướng
- Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng: Với ba vectơ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) bất kì và mọi số \(k\) ta có:
- \(\vec{a}\) .\(\vec{b}\) = \(\vec{b}\).\(\vec{a}\) (tính chất giao hoán)
- \(\vec{a}\).( \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)) = \(\vec{a}\). \(\vec{b}\) + \(\vec{a}\). \(\vec{c}\) ( tính chất phân phối)
- \((k.\vec{a}\)).\(\vec{b}\) = \(k(\vec{a}\), \(\vec{b}\)) = \(\vec{a}\)\(.(k\vec{b}\))
1.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
- Trên mặt phẳng tọa độ \((0; \vec{i}; \vec{j})\), cho hai vec tơ \(\overrightarrow a =({a_1};{a_2})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})\). Khi đó tích vô hướng \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là:
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}\)
Nhận xét: Hai vectơ \(\overrightarrow a =({a_1};{a_2})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})\) khác vectơ \(\vec{0}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
\({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0\)
1.4. Ứng dụng
- Tính độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ \(\overrightarrow a =({a_1};{a_2})\) được tính theo công thức:
\(|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2}+ {a_{2}}^{2}}\)
- Tính góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu \(\overrightarrow a =({a_1};{a_2})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})\) khác vectơ \(\vec{0}\) thì ta có:
\(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|} = \frac{{a_{1}.b_{1}+ a_{2}.b_{2}}}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}.\sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\)
- Tính khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm \(A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B})\) được tính theo công thức:
\(AB = \sqrt{({x_{B}-x _{A}})^{2}+({y_{B}-y_{A})}^{2}}\)
2. Bài tập minh họa
Câu 1: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác vecto \(\overrightarrow 0\). Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ đó là số dương ? Là số âm ? Bằng 0 ?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\\
\left| {\overrightarrow a } \right| > 0,\left| {\overrightarrow b } \right| > 0\\
+ )\overrightarrow a .\overrightarrow b > 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) < {90^0}\\
+ )\overrightarrow a .\overrightarrow b < 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) < 0\\
\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) > {90^0}\\
\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^0}
\end{array}\)
Vậy,
Tích vô hướng của hai vecto là số dương khi góc giữa hai vecto nhỏ hơn 90o.
Tích vô hướng của hai vecto là số âm khi góc giữa hai vecto lớn hơn 90o.
Tích vô hướng của hai vecto bằng 0 khi góc giữa hai vecto bằng 90o.
Câu 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2).
Chứng minh \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \)
Hướng dẫn giải
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} =(1-2;2-4)= ( - 1;\, - 2) \cr
& \overrightarrow {AC} =(6-2;2-4)= (4;\,-2) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \cr &= ( - 1).4 + ( - 2).( - 2) \cr &= - 4 + 4 = 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \cr} \)
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Cho tam giác ABC đều có Ab=AC=BC=a. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \).
Câu 2: Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm M(2; 4), N(3;1)
a) Tìm tọa độ điểm Q nằm trên trục Oy sao cho QM = QN;
b) Tính chu vi tam giác OMN.
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm \(A(7; - 3);\,\,B(8;4);\,\,C(1;5);\,\,D(0; - 2).\). Chứng minh tứ giác ABCD là hình vuông.
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho vectơ \(\vec{a}(4;3)\) và vectơ \(\vec{b}(-3;4)\). Góc hợp bởi 2 vectơ trên là \(90^o\). Tích vô hướng của hai vectơ trên là:
A. [0]
B. \(\frac{25}{2}\)
C. \(\frac{25\sqrt{3}}{2}\)
D. \(5\sqrt{2}\)
Câu 2: Cho \(\vec {a}(1;3)\) và \(\vec {b}(-2;4)\). Góc tạo bởi hai vectơ trên là:
A. \(30^o\)
B. \(45^o\)
C. \(60^o\)
D. \(75^o\)
Câu 3: Cho hai vectơ \(\vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}\) và \(\vec{b}=k\vec{i}-\vec{j}\)
Giá trị của k để \(\vec{a}\perp \vec{b}\) là:
A. \(k=\frac{1}{3}\)
B. \(k=\frac{-1}{3}\)
C. \(k=\frac{1}{2}\)
D. \(k=\frac{-1}{2}\)
Câu 4: Chu vi của tam giác ABC có tọa độ ba điểm lần lượt là \(A(1;1);B(2;6);C(-2;4)\) bằng?
A. \(\approx 10,219\)
B. \(\approx 13,813\)
C. \(\approx 14,767\)
D. \(\approx 17,532\)
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc B bằng 60 độ. Tọa độ điểm A(1;0), tọa độ điểm C(3;3). Có bao nhiêu tọa độ điểm B thỏa bài toán?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3.3. Trắc nghiệm Online
Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ Toán 10 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.
4. Kết luận
Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:
- Định nghĩa, tính chất tích vô hướng của hai vectơ.
- Biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vectơ.
- Làm được các bài tập liên quan.
