Toán 10 Chương 2 Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ

- Tích vô hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là $\vec a.\vec b$ và được xác định bởi công thức

$\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )$

- Bình phương vô hướng: Với mỗi vectơ $\vec a$ tùy ý, tích vô hướng $\vec a.\vec a$ được kí hiệu là $|\vec a|^2$ được gọi là bình phương vô hướng.

$\vec a^2=|\vec a|.|\vec a|.cos0^o=|\vec a|^2$

Như vậy: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Câu 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ đều khác vecto $\overrightarrow 0$. Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ đó là số dương ? Là số âm ? Bằng 0 ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\\ \left| {\overrightarrow a } \right| > 0,\left| {\overrightarrow b } \right| > 0\\ + )\overrightarrow a .\overrightarrow b > 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) < {90^0}\\ + )\overrightarrow a .\overrightarrow b < 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) > {90^0}\\ \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^0} \end{array}$

Vậy,

Tích vô hướng của hai vecto là số dương khi góc giữa hai vecto nhỏ hơn 90^o.

Tích vô hướng của hai vecto là số âm khi góc giữa hai vecto lớn hơn 90^o.

Tích vô hướng của hai vecto bằng 0 khi góc giữa hai vecto bằng 90^o.

Câu 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2).

Chứng minh $\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC}$

Hướng dẫn giải

$\eqalign{ & \overrightarrow {AB} =(1-2;2-4)= ( - 1;\, - 2) \cr & \overrightarrow {AC} =(6-2;2-4)= (4;\,-2) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \cr &= ( - 1).4 + ( - 2).( - 2) \cr &= - 4 + 4 = 0 \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \cr}$

Câu 1: Cho tam giác ABC đều có Ab=AC=BC=a. Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}$.

Câu 2: Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm M(2; 4), N(3;1)

a) Tìm tọa độ điểm Q nằm trên trục Oy sao cho QM = QN;

b) Tính chu vi tam giác OMN.

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm $A(7; - 3);\,\,B(8;4);\,\,C(1;5);\,\,D(0; - 2).$. Chứng minh tứ giác ABCD là hình vuông.

Câu 1: Cho vectơ $\vec{a}(4;3)$ và vectơ $\vec{b}(-3;4)$. Góc hợp bởi 2 vectơ trên là $90^o$. Tích vô hướng của hai vectơ trên là: 

A.  [0]

B. $\frac{25}{2}$

C. $\frac{25\sqrt{3}}{2}$

D. $5\sqrt{2}$

Câu 2: Cho $\vec {a}(1;3)$ và $\vec {b}(-2;4)$. Góc tạo bởi hai vectơ trên là:

A. $30^o$

B. $45^o$

C. $60^o$

D. $75^o$

Câu 3: Cho hai vectơ $\vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}$ và $\vec{b}=k\vec{i}-\vec{j}$

Giá trị của k để $\vec{a}\perp \vec{b}$ là:

A. $k=\frac{1}{3}$

B. $k=\frac{-1}{3}$

C. $k=\frac{1}{2}$

D. $k=\frac{-1}{2}$

Câu 4: Chu vi của tam giác ABC có tọa độ ba điểm lần lượt là $A(1;1);B(2;6);C(-2;4)$ bằng?

A. $\approx 10,219$

B. $\approx 13,813$

C. $\approx 14,767$

D. $\approx 17,532$

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc B bằng 60 độ. Tọa độ điểm A(1;0), tọa độ điểm C(3;3). Có bao nhiêu tọa độ điểm B thỏa bài toán?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

4. Kết luận

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Định nghĩa, tính chất tích vô hướng của hai vectơ.
• Biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vectơ.
• Làm được các bài tập liên quan.