Toán 10 Chương 4: Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Khái niệm: Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến có một trong các dạng \(f(x) > g(x), f(x) < g(x),\)\( f(x) ≥ g(x), f(x) ≤ g(x)\), trong đó \(f(x), g(x)\) là các biểu thức chứa cùng một biến \(x\).

Giải bất phương trình dạng \(ax + b < 0\) (1)

- Nếu \(a = 0\) thì bất phương trình có dạng \(0.x + b < 0\)

• Với \(b < 0\) thì tập nghiệm BPT là S = Æ
• Với \(b \ge 0\) thì tập nghiệm BPT là \({\rm{S}} = \mathbb{R}\)

- Nếu \(a > 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x <  - \frac{b}{a}\) suy ra tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right)\)

- Nếu \(a < 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x >  - \frac{b}{a}\) suy ra tập nghiệm là \(S = \left( { - \frac{b}{a}; + \infty } \right)\)

Các bất phương trình dạng \(ax + b > 0,\,\,ax + b \le 0,\,\,ax + b \ge 0\) được giải hoàn toán tương tự.

Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.

- Hai bất phương \({f_1}(x) < {g_1}(x)\) và \({f_2}(x) < {g_2}(x)\) được gọi là tương đương, kí hiệu:

\({f_1}(x) < {g_1}(x) \Leftrightarrow {f_2}(x) < {g_2}(x)\) nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.

- Định lí: Gọi \(D\) là ĐKXĐ của bất phương trình \(f(x) < g(x), h(x)\) là biểu thức xác định với \(∀ x ∈ D\) thì

a) \(f(x) + h(x) < g(x) + h(x)\)\( \Leftrightarrow  f(x) < g(x)\).

Hệ quả \(f(x) < g(x) + p(x) \)\(\Leftrightarrow  f(x) - g(x) < p(x)\)

b) \(f(x).h(x) < g(x).h(x) \)\(\Leftrightarrow  f(x) < g(x)\) nếu \(h(x) > 0 ∀ x ∈ D\)

\(f(x).h(x) < g(x).h(x)  \)\(\Leftrightarrow  f(x) > g(x)\) nếu \(h(x) < 0 ∀ x ∈ D\).

Câu 1: Biện luận nghiệm của bất phương trình theo m: \(mx + 5 \le x + 2m\)

Hướng dẫn giải

Bất phương trình tương đương với \(\left( {m - 1} \right)x < 2m - 5\)

Với \(m = 1\) bất phương trình trở thành \(0x \le -3\)suy ra bất phương trình vô nghiệm

Với \(m > 1\) bất phương trình tương đương với \(x < \frac{{2m - 5}}{{m - 1}}\)

Với \(m < 2\) bất phương trình tương đương với \(x > \frac{{2m - 5}}{{m - 1}}\)

Kết luận

\(m = 1\) bất phương trình vô nghiệm

\(m > 1\) bất phương trình có nghiệm là \(x < \frac{{2m - 5}}{{m - 1}}\)(có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;\frac{{2m - 5}}{{m - 1}}} \right)\))

\(m <1\) bất phương trình có nghiệm là \(x > \frac{{2m - 5}}{{m - 1}}\)(có tập nghiệm là \(S = \left( {\frac{{2m - 5}}{{m - 1}}; + \infty } \right)\))

Câu 2: Giải các hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 1 > 3x + 4\\4x - 3 < 2x + 3\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4x - 1 > 3x + 4}\\
{4x - 3 < 2x + 3}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x - 3x > 4 + 1\\
4x - 2x < 3 + 3
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 5\\
2x < 6
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 5\\
x < 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.

Câu 3: Cho bất phương trình  \(\sqrt {x - 1} (x - 2m + 2) \ge 0\)

a) Giải bất phương trình khi \(m = 2\)

b) Tìm \(m\) để mọi \(x \in \left[ {2;3} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

a) Khi \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(\sqrt {x - 1} (x - 2) \ge 0\)

Bất phương trình tương đương với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 1}  = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ 1 \right\} \cup {\rm{[}}2; + \infty )\).

b) Bất phương trình tương đương với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 1}  = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2m + 2 \ge 0\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge 2m - 2\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)

TH1: \(2m - 2 > 1 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 2m - 2}\end{array}} \right.\)

Suy ra tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\} \cup [2m - 2; + \infty )\).

Do đó mọi \(x \in \left[ {2;3} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình (*)

\( \Leftrightarrow \left[ {2;3} \right] \subset S \Leftrightarrow 2m - 2 \le 2 \Leftrightarrow m \le 2\)

Suy ra \(\frac{3}{2} < m \le 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2: \(2m - 2 = 1 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 1} \right.\)

Suy ra \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH3: \(2m - 2 < 1 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 1} \right.\)

Suy ra \(m < \frac{3}{2}\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy giá trị cần tìm là \(m \le 2\).

Câu 1: Biện luận nghiệm của bất phương trình theo m:

a) \((m+1)x + 3 \le 3x + 4m\)

b)  \(\left( {2x -1} \right)m + 2x > 4x + 5\)

c) \(\left( {{m^2} + 4} \right)x + 2 \ge m\left( {2 - 3x} \right)\)

Câu 2: Giải các hệ bất phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 1 > 3x + 4\\4x - 3 < -x + 1\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}5x + \frac{3}{4} < 3x + 5\\\frac{{7x + 2}}{3} < x + 4\end{array} \right.\)

Câu 3: Cho bất phương trình  \(\sqrt {2x - 3} (x - 3m + 2) \ge 0\)

a) Giải bất phương trình khi \(m = 1\)

b) Tìm \(m\) để mọi \(x \in \left[ {2;3} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Câu 1: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 8x + 7 \ge 0\). Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S?

A. \(\left( { - \infty ;0} \right]\)

B. \(\left[ {8; + \infty } \right)\)

C. \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\)

D. \(\left[ {6; + \infty } \right)\)

Câu 2: Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - bx + 3\). Với giá trị nào của b thì tam thức f(x)có hai nghiệm?

A. \(b \in \left[ { - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 } \right]\)

B. \(b \in \left( { - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 } \right)\)

C. \(b \in \left( { - \infty ; - 2\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {2\sqrt 3 ; + \infty } \right)\)

D. \(b \in \left( { - \infty ; - 2\sqrt 3 } \right) \cup \left( {2\sqrt 3 ; + \infty } \right)\)

Câu 3: Giá trị nào của m thì phương trình \(\left( {m - 3} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x - \left( {m + 1} \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt?

A. \(m \in \left( { - \frac{3}{5};1} \right)\)

B. \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{5}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\)

C. \(m \in \left( { - \frac{3}{5}; + \infty } \right)\)

D. \(m \in R\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Câu 4: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} \).

A. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right]\)

B. \(\left[ {2; + \infty } \right)\)

C. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

D. \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\)

Câu 5: Các giá trị m để tam thức \(f(x) = {x^2} - (m + 2)x + 8m + 1\) đổi dấu 2 lần là

A. \(\left[ \begin{array}{l} m \le 0\\ m \ge 28 \end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l} m < 0\\ m > 28 \end{array} \right.\)

C. \(0 < m < 28\)

D. \(m > 0\)

Qua bày học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Khái niệm cơ bản về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
• Phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.