Toán 10 Chương 6 Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung

Trên đường tròn lượng giác, cho điểm \(M\left( {{x_o},{y_o}} \right)\) sao cho cung lượng giác AM có sđ\(AM = \alpha \). Khi đó:

\(\begin{array}{l}
\sin \alpha  = \overline {OK}  = {y_0}\\
\cos \alpha  = \overline {OH}  = {x_0}\\
\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}{\rm{ }}\left( {\cos \alpha  \ne 0} \right)\\
\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}{\rm{ }}\left( {\sin \alpha  \ne 0} \right)
\end{array}\)

Định nghĩa: Các giá trị \(\sin \alpha ,\cos \alpha {\rm{, tan}}\alpha {\rm{, cot}}\alpha \) được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.

Chú ý:

• Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.
• Nếu \({0^ \circ } \le \alpha  \le {180^ \circ }\) thì các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) chính là các giá trị lượng giác của góc đó.

1.1.2. Hệ quả

1) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) xác định với mọi \(\alpha  \in R\).

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha ,\forall k \in Z\\
\cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \cos \alpha ,\forall k \in Z
\end{array}\)

2) \( - 1 \le \sin \alpha  \le 1, - 1 \le \cos \alpha  \le 1\)

3) Với mọi \(m \in R\) mà \( - 1 \le m \le 1\) đều tồn tại \(\alpha \) và \(\beta \) sao cho \(\sin \alpha  = m\) và \(\cos \alpha  = m\)

4) \(\tan \alpha \) xác định với mọi \(\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{  }}\left( {k \in Z} \right)\)

5) \(\cot \alpha \) xác định với mọi \(\alpha  \ne k\pi {\rm{  }}\left( {k \in Z} \right)\)

6) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác 

Ý nghĩa hình học của \(\tan \alpha \) và \(\cot \alpha\)

\(\tan \alpha  = \overline {AT} \)

Trục  t'At được gọi là trục tang.

\(\cot \alpha  = \overline {BS} \)

Trục  s'Bs được gọi là trục côtang.

Chú ý: 

\(\begin{array}{l}
\tan \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \tan \alpha \\
\cot \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \cot \alpha 
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
si{n^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1\\
1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }},\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\\
1 + co{t^2}\alpha  = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }},\alpha  \ne k\pi ,k \in Z\\
\tan \alpha .\cot \alpha  = 1,\alpha  \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z
\end{array}\)

Các điểm cuối của hai cung AM và AM' đối xứng nhau qua trục hoành nên ta có:

\(\begin{array}{l}
\cos ( - \alpha ) = \,\cos \alpha \\
\sin ( - \alpha ) = \,\, - \sin \alpha \\
\tan ( - \alpha ) =  - \tan \alpha \\
\cot ( - \alpha ) =  - \cot \alpha 
\end{array}\)

2) Cung bù nhau: \(\alpha \) và \(\pi  - \alpha \)

Các điểm cuối của hai cung AM và AM' đối xứng với nhau qua trục tung, nên ta có:

\(\begin{array}{l}
\sin (\pi  - \alpha ) = \,\,\,\,\,\,\sin \alpha \\
\cos (\pi  - \alpha ) =  - \cos \alpha \\
\tan (\pi  - \alpha ) =  - \tan \alpha \\
\cot (\pi  - \alpha ) =  - \cot \alpha 
\end{array}\)

3) Hơn kém nhau \(\pi \): \(\pi \) và \(\left( {\alpha  + \pi } \right)\)

Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua gốc tọa độ, nên ta có:

\(\begin{array}{l}
\sin (\alpha  + \pi ) =  - \sin \alpha \\
\cos (\alpha  + \pi ) =  - \cos \alpha \\
\tan (\alpha  + \pi ) = \,\,\,\,\,\tan \alpha \\
\cot (\alpha  + \pi ) = \,\,\,\,\,\cot \alpha 
\end{array}\)

4) Cung phụ nhau: \(\alpha \) và \(\alpha  - \frac{\pi }{2}\)

Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua đường phân giác d của góc xOy, nên ta có:

\(\begin{array}{l}
\sin \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\
\cos \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\
\tan \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\
\cot \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha 
\end{array}\)

Chú ý: Để ghi nhớ các công thức trên dễ dàng ta học thuộc câu: “cos-đối, sin-bù, phụ-chéo, hơn kém nhau- tan và cot”. 

Câu 1: Tính \(\sin \frac{{25\pi }}{4}\), \(cos\left( { - {{240}^o}} \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có \(\frac{{25\pi }}{4} = \frac{\pi }{4} + 3.2\pi \)

Suy ra \(\sin \frac{{25\pi }}{4} = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Tương tự \( - {240^0} = {120^0} - {360^0}\)

Suy ra \(cos\left( { - {{240}^o}} \right) = cos{120^ \circ } =  - \frac{1}{2}\)

Câu 2: Cho \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) với \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\).  Tính \(\cos \alpha \)

Hướng dẫn giải

Ta có \(si{n^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\\
 \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{1}{2}
\end{array}\)

Vì \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha >0\) \( \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{1}{2}\)

Câu 3: Rút gọn biểu thức sau

\(A = \cos ({90^0} - x).\sin ({180^0} - x) - \sin ({90^0} - x).\cos ({180^0} - x)\)

Hướng dẫn giải

Sử dụng công thức cung phụ nhau và cung bù nhau

Ta có \(A = \cos ({90^0} - x).\sin ({180^0} - x) - \sin ({90^0} - x).\cos ({180^0} - x)\)

\(\begin{array}{l}
 = \sin x.\sin x - \cos x.( - \cos x)\\
 = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1
\end{array}\)

Câu 1: Cho 0 < α < π/2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau

a) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)\))          b) \({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\)

c) \({\rm{Cot}}\left( {\frac{{3\pi }}{2}{\rm{ }} - {\rm{ }}\alpha } \right)\)          d) \({\rm{tan}}\left( {\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}\pi } \right)\)

Câu 2: Cho \({\rm{tan}}\alpha + {\rm{cot}}\alpha = m\), hãy tính theo m

a) \({\rm{tan}}2\alpha + {\rm{cot}}2\alpha \)

b) \({\rm{tan}}3\alpha + {\rm{cot}}3\alpha \)

Câu 1: Kết quả rút gọn của biểu thức \({\left( {\frac{{\sin \alpha  + \tan \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + 1}}}}} \right)^2} + 1\) bằng:

A. 2

B. 1+tan\(\alpha \)

C. \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

D. \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

Câu 2: Giá trị của \(M = {\cos ^2}{15^0} + {\cos ^2}{25^0} + {\cos ^2}{35^0} + {\cos ^2}{45^0} + {\cos ^2}{105^0} + {\cos ^2}{115^0} + {\cos ^2}{125^0}\) là:

A. M=4

B. M=\(\frac{7}{2}\)

C. M=\(\frac{1}{2}\)

D. \(M = 3 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Câu 3: Cho \({\rm{cos}}\alpha  =  - \frac{2}{5}\,\,\,\left( {\pi  < \alpha  < \frac{{2\pi }}{3}} \right)\). Khi đó \(\tan \alpha \) bằng: 

A. \(\frac{{\sqrt {21} }}{5}\)

B. \(\frac{-{\sqrt {21} }}{2}\)

C. \(\frac{-{\sqrt {21} }}{5}\)

D. \(\frac{{\sqrt {21} }}{3}\)

Câu 4:  Cho \(\sin a + \cos a = \frac{5}{4}\). Khi đó \(\sin a.\cos a\) có giá trị bằng:

A. 1

B. \(\frac{9}{32}\)

C. \(\frac{3}{16}\)

D. \(\frac{5}{4}\)

Câu 5: Nếu \(\cos x + \sin x = \frac{1}{2}\) và \({0^0} < x < {180^0}\) thì \(\tan x{\rm{ = }} - \frac{{p + \sqrt q }}{3}\) với cặp số nguyên (p, q) là:

A. (–4; 7)

B. (4; 7)

C. (8; 14)

D. (8; 7)

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Tính được giá trị lượng giác của một cung.
• Nắm được phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan.